Casser 2022

R en dénombre 23400p<-function(n,l){z<-0;a<-floor(sqrt(n))

if(a*a==n){print(c(l,a))
z<-z+1;a<-a-1}
if(length(l)>0){a<-min(a,min(l)-1)}
while((a*(a+1)*(2*a+1))>6*n){z<-z+p(n-a*a,c(l,a));a<-a-1}
return(z)}

> p(2022,c())
[1] 23400

J'arrive à 27685

Il m'en manque...
Pouvez vous me donner la liste de vos décompositions pour 400 (J'en trouve 44, Cf. ci-dessous) que je puisse comparer.
Rescassol, la fonction c() sert à concaténer avec R. du coup, c() crée un vecteur vide.

> p(400,c())
[1] 20
[1] 17  7  6  5  1
[1] 17  7  6  4  3  1
[1] 16 12
[1] 15 11  5  4  3  2
[1] 15 10  7  5  1
[1] 15 10  7  4  3  1
[1] 15  9  7  6  3
[1] 15  9  7  5  4  2
[1] 15  8  7  6  5  1
[1] 15  8  7  6  4  3  1
[1] 14 13  5  3  1
[1] 14 11  7  5  3
[1] 14 10  8  6  2
[1] 14  9  8  7  3  1
[1] 14  9  7  6  5  3  2
[1] 13 12  7  5  3  2
[1] 13 12  6  5  4  3  1
[1] 13 11 10  3  1
[1] 13 11  9  5  2
[1] 13 11  9  4  3  2
[1] 13 11  8  6  3  1
[1] 13 11  7  6  5
[1] 13 11  7  6  4  3
[1] 13 10  9  7  1
[1] 13 10  9  5  5
[1] 13 10  9  5  4  3
[1] 13  9  8  7  6  1
[1] 13  9  8  6  5  5
[1] 13  9  8  6  5  4  3
[1] 12 16
[1] 12 11 10  5  3  1
[1] 12 11  9  5  4  3  2
[1] 12 11  8  6  5  3  1
[1] 12 11  7  6  5  5
[1] 12 11  7  6  5  4  3
[1] 12 10  9  7  5  1
[1] 12 10  9  7  4  3  1
[1] 12  9  8  7  6  5  1
[1] 12  9  8  7  6  4  3  1
[1] 11 10  9  8  5  3
[1] 11 10  9  7  7
[1] 11 10  9  7  6  3  2
[1] 11  9  8  7  6  7

[1] 44

Bonjour
Et voilà une autre curiosité :
$$9(1+2)^3+\dfrac{4!(6!-5!-7)}{8}=2022$$
Cordialement,
Rescassol

On peut déjà regarder dans OEIS, comme d'habitude : https://oeis.org/A033461

Sur le plan théorique, c'est un vieux résultat que le nombre de manières d'écrire l'entier $n$ comme somme de deux carrés d'entiers relatifs est $$4 \bigg(\sum_{\underset{d \equiv 1 \text{ mod } 4}{d \mid n}} 1 - \sum_{\underset{d \equiv 3 \text{ mod } 4}{d \mid n}} 1\bigg).$$ Une jolie manière de la démontrer est d'introduire la fonction $\theta$ de Jacobi, définie par $$\theta(x) = \sum_{n \in \mathbb Z} x^{n^2}$$ pour $|x| < 1$ (ce n'est pas à proprement parler la fonction de Jacobi, qui est traditionnellement la fonction de $t$ correspondante, où l'on a écrit $x = e^{2i\pi t}$, et $\mathfrak{Im}(t) > 0$, mais passons). On a évidemment $\theta(x)^2 = \sum_{n \in \mathbb N} a_n x^n$, où $a_n$ est le nombre de couples $(a, b) \in \mathbb Z^2$ tels que $a^2+b^2=n$. Avec quelques manipulations algébriques partant de la remarquable formule du triple produit de Jacobi : $$\theta(x) = \prod_{n \geq 1} (1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^2,$$ on en déduit (voir https://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper21.pdf par exemple) l'expression suivante de $\theta(x)^2$ : $\theta(x)^2 = 1 + 4 \sum_{n \geq 0} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{1-x^{2n+1}}$, d'où l'on tire le résultat en développant les fractions en séries et en identifiant les coefficients. Il existe aussi des démonstrations élémentaires de ce résultat, mais beaucoup moins élégantes et très fastidieuses.