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Au bout de ces 50 messages, je résume la situation qui est la mienne :0
Les éléments de l’intervalle des réels $[01[$ écrits sous forme de développement décimal illimité sont-ils ou pas « déterminés et bien distincts les uns des autres » (pardon pour le flou de mon vocabulaire) ? Pour le savoir, je fais la supposition qu’ils le sont et entreprends de les dénombrer. L’argument diagonal me conduit à une contradiction, qui me fait comprendre que ma supposition initiale était fausse ce qui me donne une réponse à ma question.
j’ai posté mon message involontairement et vois, Dom, que tu abandonnes. Ok, moi aussi. -
Ce n'est pas parce que des éléments d'un ensemble sont bien déterminés et distincts que tu peux forcément les dénombrer !Par exemple, tu ne peux dénombrer les suites d'entiers relatifs ou encore les parties de l'ensemble $\N$ (ou les éléments de l'intervalle $[0,1[$ ...).
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JLapin,
Tu as écrit « Tu ne peux pas dénombrer les parties de l’ensemble $\mathbb{N}$. »
Même avec ça, je ne suis pas d’accord ! Je suis irrécupérable. Dom l’a compris.
Par contre, « Tu ne peux pas dénombrer les suites d’entiers relatifs », je ne connais pas. -
En gros notre ami semble avoir découvert qu'on ne pouvait pas vraiment "choisir un réel" de façon aléatoire sans tricher (on ne peut choisir que les réels d'une partie dénombrable, celle de ceux qu'on sait exprimer d'une manière ou d'une autre en acceptant d'avance l'existence d'une poignée de réels comme $e$, $\pi$ ou les rationnels), et ne pas vouloir l'accepter.
On comprend tous que ce soit frustrant, mais on ne peut pas faire mieux et les théories sont très solides "malgré" ce point. -
Pour info, @Dom et @Sneg vous ne vous comprenez pas car lorsque Sneg parle de réels "déterminés et bien distincts" elle ne veut pas dire ce que toi Dom tu crois comprendre. L'idée derrière la tête de Sneg est beaucoup plus tordue que ce que tu crois Dom...
Sneg, je te propose un autre exercice pour essayer de voir où ça coince. Libre à toi de me répondre ou pas, bien sûr.
Imagine qu'au lieu de considérer l'ensemble des nombres réels, on considère l'ensemble des suites infinies composées des deux symboles $\bigcirc$ et $\bigtriangleup$. Je note $S$ cet ensemble.
On écrira un élément $x$ de l'ensemble $S$ comme ceci par exemple : $x=\left(\bigcirc,\bigcirc,\bigtriangleup,\bigcirc,\bigtriangleup, ... etc.\right)$.
Est-ce que tu arrives à utiliser l'argument diagonal de Cantor pour démontrer que l'ensemble $S$ n'est pas dénombrable ? -
Sneg a dit :JLapin,
Tu as écrit « Tu ne peux pas dénombrer les parties de l’ensemble $\mathbb{N}$. »
Même avec ça, je ne suis pas d’accord ! Je suis irrécupérable. Dom l’a compris.Supposons qu'il existe $f$ une bijection de $\N$ vers $\mathcal P(\N)$.Posons $A=\{n\in \N \ |\ n\notin f(n)\}$ et $p$ l'unique antécédent de $A$ par $f$ (on a $p\in\N$ et $A=f(p)$).Si $p\in A$, alors $p\notin f(p)$ donc $p\notin A$.Si $p\notin A$, alors $p\notin f(p)$ donc $p\in A$.Absurde. Une telle bijection n'existe pas.Vas-tu inventer que pour je ne sais quelle raison les parties de $\N$ ne sont pas distinctes ? -
Bonsoir, raoul.S Et merci.
Si je ne me trompe pas, le petit exercice que tu me proposes n’est autre que le traitement de l’argument diagonal sous forme d'écriture binaire.
Je vais t’expliquer mon mode de pensée :
Dans l’argument diagonal sous forme d’écriture binaire, je me retrouve encore une fois face à des nombres dont j’ignore s’ils sont « déterminés et bien distincts les uns des autres » ou pas. Alors, comme dans l’argument diagonal en numération décimale, je me dis : s’ils le sont, alors ils sont comme les éléments de $\mathbb{N}$ et je pourrai les dénombrer comme on dénombre les éléments de $\mathbb{N}$. Donc, je fais la supposition qu’ils le sont et entreprend de les dénombrer pour voir ce que cela donne. Et je tombe sur une contradiction, qui me fait conclure que ma supposition initiale était fausse et que ces nombres ne sont pas « déterminés et bien distincts les uns des autres ». J’ai donc la réponse à ma question.
L’ennui, c’est que personne ne pensera comme moi car, dans la théorie officielle, tout est basé sur les notions d’injection, de surjection et de bijection au sujet desquelles j’ai donné mon avis dans le message initial.
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Sneg oui mais j'avais pris cet exemple avec les symboles $\bigcirc$ et $\bigtriangleup$ exprès pour ne pas parler de nombres et essayer de comprendre ce que tu veux dire dans ce cas par "déterminés et bien distincts les uns des autres".
Oublie les nombres pour un moment. Ici les éléments de l'ensemble $S$ sont des suites composées des deux symboles ci-dessus. Ça veut dire quoi pour toi que les éléments de $S$ sont "déterminés et bien distincts les uns des autres" ? Je ne comprends pas cette expression.
Par exemple, pour moi les deux éléments suivants $x=\left(\bigcirc,\bigcirc,\bigtriangleup,\bigcirc,\bigtriangleup, ... etc.\right)$ et $y=\left(\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc,\bigcirc,\bigtriangleup, ... etc.\right)$ sont différents car le symbole qui se trouve à la troisième position dans $x$ est $\bigtriangleup$ tandis que celui qui se trouve à la troisième position de $y$ est $\bigcirc$. -
Depuis le départ on ne sait pas ce que ça veut dire.Et c’est étonnant de tenir à un truc dont on ne sait pas ce qu’il signifie. Cela me dépasse un peu.Merci Raoul, pour le passage de témoin 😀
S’il répond, peut-être pourra-t-il aussi répondre à mes questions :
soit $a$ un entier, $a$ est-il bien déterminé ?
soit $b$ un réel, $b$ est-il bien déterminé ? -
Bonjour, raoul.S et Dom.
C’est drôle que vous ne compreniez pas l’expression « déterminés et bien distincts ». J’ai fait tout mon possible pour l’expliquer au mieux quand j’ai rédigé ma petite nouvelle. En même temps, je me doutais que mes explications ne passeraient pas puisque j’ai fait dire à Alice : « J’espère, Bob, que tu nous comprends, mes définitions et moi. » L’air de rien, chaque mot de cette historiette a son importance. Donc, Dom et raoul.S, les réponses à vos questions se trouvent dans le message initial. Je ne sais pas si je pourrais vous en donner de meilleures.
C’est gentil ã vous de chercher à comprendre ce que je pense, mais au fond, ce qui importe c’est de savoir ce que pensent les mathématiciens. À ce sujet, j’aimerais juste vous poser une question :
Les mathématiciens pensent-ils que ce qui distingue fondamentalement $\mathbb{N}$ de $\mathbb{R}$ ce n’est pas une différence de nature de leurs éléments, car d’un côté comme de l’autre il s’agit de nombres, mais bien une différence de cardinalité ?
Merci. -
Ce n’est PAS qu’une histoire de cardinalité. (Correction !!! Coquille fâcheuse !!!)Les mathématiciens distinguent $\mathbb N$ et $\mathbb Z$, par exemple. Et même $\mathbb N$ et $\mathbb N^*$.Heu… et mon $a$ et mon $b$ ?
Peux-tu répondre ? C’est assez simple pourtant.« Oui », « Non » ?
Ou peut-être ne sais-tu pas y répondre ? -
Ok, Dom. Ce n’est donc qu’une histoire de cardinalité.
Pour en finir avec tout cela, je vais faire une comparaison, car je ne parle pas suffisamment bien le langage mathématique (certains diront que je baratine) :
Les mathématiciens prennent $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$ en photo. Sur la photo de $\mathbb{N}$, ils peuvent compter tous les éléments. En revanche, sur la photo de $\mathbb{R}$, ils ne peuvent pas compter tous les éléments car il y en a trop.
C’est ça ?
(Pour moi, la photo de $\mathbb{N}$ est nette, pour autant que les éléments soient écrits 1, 2, 3, etc. Donc, je peux en compter les éléments. En revanche, si les éléments sur la photo de $\mathbb{R}$ sont écrits sous forme de développement décimal illimité (pas toujours facile de faire autrement), alors ils sont flous. Je ne peux pas les compter.)
Pour ce qui est de répondre aux deux questions de la fin de ton message, je dirai qu’elles n’ont pas de sens ici.
$1$ qui est naturel est déterminé tel qu’il est écrit. En revanche, une fois écrit sous forme de développement décimal illimité, il ne l’est plus, car à partir de quelle décimale nulle le reconnaitrai-je ? Pareillement pour $2$ : c’est un réel, pourtant tel qu’il est écrit, je le considère comme déterminé. Par contre, une fois écrit sous forme de développement décimal illimité il ne le sera plus, Car, encore une fois, à partir de quelle décimale nulle saurai-je le reconnaître ? -
J’ai corrigé ma malheureuse maladresse.En ajoutant le « PAS » qui change tout.Cela dit tu tergiverses juste à cause des écritures décimales. Ainsi tu considères que $1$ aurait des qualités selon son écriture, ce n’est pas sérieux.Ce sont les écritures elles-mêmes qui ont des qualités. Et on a des théorèmes de caractérisation écriture/nature du nombre. Par exemple, si l’écriture décimale d’un réel ne contient que des zéros derrière la virgule, alors ce nombre est entier, et réciproquement.On caractérise ainsi, avec les écritures décimales, les entiers, les nombres décimaux, les nombres rationnels, les réels non rationnels.Je ne parle pas des négatifs qui prennent juste un signe « - » en écriture décimale selon les acceptions.
Puis ce que tu dis est étrange…
Quand j’écris $x=1$ il n’y a pas d’ambiguïté.Quand j’écris $y=1,0000$ non plus.On a bien $x=y$.Il s’agit de deux écritures décimales de $un$.Par contre, écrire $z=1,00…$, ce n’est pas une écriture décimale et les pointillés exigent une prudence. Par exemple pour certains non professionnels cela signifie « $z\approx 1,00$ et l’approximation est juste au centième », voire « les deux chiffres derrière la virgule sont justes ».Enfin : la photo de $\mathbb Q$ (on ne rit pas 🤣 !), ce ne serait pas déterminé pour toi et « c’est flou » ? On ne pourrait pas les énumérer, les rationnels ?Tu n’as pas compris qu’il y a une différence fondamentale entre la manière d’écrire des nombres et la nature des nombres.On initie cela en classe de 6e mais je te rassure, cette confusion traîne encore dans l’esprit de certains, et jusqu’à la fac… et parfois plus loin encore. On a déjà eu des personnes dire que $2\times 3$ n’était pas un entier, par exemple. -
Sneg a dit :
Ok, Dom. Ce n’est donc qu’une histoire de cardinalité.
Pour en finir avec tout cela, je vais faire une comparaison, car je ne parle pas suffisamment bien le langage mathématique (certains diront que je baratine) :
Les mathématiciens prennent $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$ en photo. Sur la photo de $\mathbb{N}$, ils peuvent compter tous les éléments. En revanche, sur la photo de $\mathbb{R}$, ils ne peuvent pas compter tous les éléments car il y en a trop.
C’est ça ?Non !Les mathématiciens ne comptent pas les entiers, compter c'est bon pour des nombres finis d'éléments. Mais ils peuvent comparer les tailles d'ensembles. Et voir que $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$ n'ont pas la même taille. Et $\mathbb{R}$ n'a pas "trop d'éléments""(Pour moi, la photo de $\mathbb{N}$ est nette, pour autant que les éléments soient écrits 1, 2, 3, etc. Donc, je peux en compter les éléments."Non, tu n'arriveras jamais au bout ("l'infini, c'est long, surtout vers la fin")."En revanche, si les éléments sur la photo de $\mathbb{R}$ sont écrits sous forme de développement décimal illimité (pas toujours facile de faire autrement), alors ils sont flous. Je ne peux pas les compter.) " Là tu rates une marche !! Tu ne peux même pas les avoir concrètement ainsi, même pas un seul réel fixé, s'il est irrationnel.Je reviens sur : " je ne parle pas suffisamment bien le langage mathématique". C'est ton choix ! Depuis que tu interviens sur ce forum, tu t'y refuses, tu refuses de l'apprendre, tu préfères tes idées floues, pour ne pas avoir à renoncer à ta critique. -
C’est bien ça, c’est une question d’écriture des nombres.
Je ne sais pas toi, mais j’ai le sentiment profond que l’argument diagonal repose sur l’écriture des nombres sous forme de développement décimal illimité : on y parle essentiellement de décimales, non ? Et pour moi, ces nombres sont flous. Une fois écrits sous forme de développement décimal illimité, et sans autre règle d'écriture supplémentaire, même les naturels et les rationnels deviennent flous à mes yeux, en ce sens qu’on ne peut pas savoir à partir de quelle décimale on peut les reconnaître avec certitude.
Ceci répond à ta question : présentés sous forme de fractions, les rationnels sont dénombrables. En revanche, présentés sous. forme de développement décimal illimité, comment les dénombrer puisque je ne les reconnais même pas. -
Autre point de vue, celui topologique.
On sait que si on considère uniquement la droite des rationnels, bien qu'on puisse avoir l'impression de faire face à un tracé continu (il suffit même de prendre les dyadiques de [0,1] par exemple, c'est-à-dire de partir de deux points, puis de placer le milieu, puis les milieux entre tous les points obtenus, et ainsi de suite... on aura l'impression d'avoir un tracé uniforme en faisant ça mais il suffit de zoomer pour voir qu'il y aura des trous, ce qui me semble accessible par l'intuition).
$\R$, et c'est la manière qu'on a de le construire, c'est l'ensemble qui bouche les trous.
Autrement dit il est fait pour toucher à notre idée du continu. Or, on pourrait presque dire que le continu n'est qu'une vision de l'esprit (du moins j'ai tendance à voir ma table comme une plaque sans trous avec mes yeux de myope, peut-être devrais-je opter pour une correction quantique auprès de mon opticien).
Soyons bien conscients que l'infini n'est pas accessible à notre esprit. L'ensemble des entiers naturels n'est pas infini au sens philosophique, mais juste formé de sorte que peu importe le nombre qu'on imagine, il en existe un plus grand. On ne peut pas toucher à l'infini autrement que par axiomes, donc il faut s'y faire.
On a seulement l'impression d'avoir un infini qui a du sens avec $\N$.
L'infini des réels semble moins naturel car il ne repose pas sur l'idée de répétition mais vraiment celle du colmatage. Pour piocher un réel il suffit de poser la pointe de ton stylo sur un point d'une droite. Et pourtant exprimer un réel explicitement est pour ainsi dire impossible si on prétend le prendre quelconque. Si l'idée des développements décimaux peut avoir une saveur frustrante, ça provient de là. -
Merci de cet aveu : « même les naturels et les rationnels deviennent flous à mes yeux, en ce sens qu’on ne peut pas savoir à partir de quelle décimale on peut les reconnaître avec certitude »
Ce n’est pas un problème du tout. Il faut cesser de se demander s’il on peut les reconnaître avec un développement décimal. Si on connaît tous le développement décimal on peut, sinon évidemment que personne ne peut !!!Dans ce cas, pour toi, une suite, c’est flou car on ne voit pas tous les termes.Ce sentiment (c’est flou), tout le monde s’en fiche.
« soit $d$ un réel de $[0;1[$ », c’est aussi « louf » que « soit $(d_n)_n$ une suite dont le premier terme est $0$ et dont les termes suivants sont des chiffres sans que la suite soit constante égale au chiffre $9$ à partir d’un certain rang.Le fait d’écrire $(d_n)_n=(0,d_1,d_2,d_3,…)$ ne pose aucun problème sauf pour celui qui voudrait « savoir combien ça fait $d_1$ et $d_2$ etc. ? ». -
Merci, Rieman_lapins_cretins.
Tu vois, Dom, je suis sans doute irrécupérable car, pour moi, le problème reste le même, que l’on utilise des chiffres, des lettres ou des symboles géométriques comme l’a fait raoul.S. : dans ton exemple, à partir de quel $d_i$ pourrai-je reconnaître, identifier, l’objet considéré ? -
@Sneg Le fait qu'un ensemble soit dénombrable ou pas ne dépend pas du tout de la façon de représenter ces éléments.Sneg a dit :C’est bien ça, c’est une question d’écriture des nombres.
Je ne sais pas toi, mais j’ai le sentiment profond que l’argument diagonal repose sur l’écriture des nombres sous forme de développement décimal illimité : on y parle essentiellement de décimales, non ?
D'ailleurs j'ai un scoop pour toi : on peut écrire l'argument diagonal de Cantor sans avoir besoin de l'écriture décimale avec les trois points à la fin ... 😱 -
Une lecture que je recommanderai éternellement est celle de La Science et l'hypothèse du grand Poincaré.
Il expose plutôt bien cette idée de l'infini comme "rien de plus" qu'un concept axiomatique fondé sur cette idée de l'esprit humain qu'on appelle principe de récurrence : peu importe le nombre j'imagine, je peux en imaginer un plus grand.
Je pense que quand on lit que "l'univers est infini", on se représente tous mentalement une forme (disque, sphère, rectangle, peu importe), et que notre premier réflexe est de se l'imaginer immédiatement plus grande que notre première image, faute de pouvoir imaginer mieux. -
Merci, Riemann_lapins_cretins, pour ce bon conseil de lecture.
Oui, raoul.S, mais dans l’argument diagonal il est quand même bien question de décimales illimitées, ou d’autres symboles en quantité illimitée, que l’on utilise ou pas les trois petits points. -
Bonjour,
On n'a pas besoin de reconnaître les éléments d'un ensemble pour les dénombrer.
Et le mot "dénombrer" a une signification mathématique précise.
Cordialeent,
Rescassol
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Dernière question avant de continuer.J’ai deux suites de chiffres, $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$.On s’en fout d’identifier telle ou telle suite.Je te demande si tu sais écrire que ces suites sont égales et si tu sais écrire que ces suites sont distinctes.
C’est tout ce qu’il suffit de savoir. -
Les mathématiciens prennent N et R en photo. Sur la photo de N, ils peuvent compter tous les éléments. En revanche, sur la photo de R, ils ne peuvent pas compter tous les éléments car il y en a trop.Presque. Si on restreint le problème, pour le simplifier, alors ton discours devient correct.Si on se limite aux nombres entre 0 et 1000, alors ce que tu dis devient vrai.
Dans N, la notion d'entier suivant ou précédent a un sens. L'entier qui suit 500, c'est 501.
Dans R, ce genre de truc n'a pas de sens.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Et dans $\mathbb Q$ non plus.En fait, Sneg a déjà un problème avec $\mathbb Q$.
Toutes ses complaintes s’adaptent à l’ensemble des rationnels.Petit défi : essayer d’appliquer la démonstration aux rationnels et voir si cela mène à une contradiction.Mais pour cela faut-il encore avoir compris les mécanismes mis en jeu. -
"Petit défi : essayer d’appliquer la démonstration aux rationnels et voir si cela mène à une contradiction."Ah oui, ça c'est un excellent exercice pour voir si on a vraiment compris la démonstration.Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
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Pour finir je crois bien que j'avais vu juste dans mon dernier paragraphe ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2333947/#Comment_2333947
Je pense que Sneg dit qu'on ne peut pas "reconnaître" précisément une suite infinie de symboles (comme la suite des décimales d'un réel) car en pratique il est effectivement impossible de dire si deux telles suites sont égales (on ne peut pas comparer tout les termes en un nombre fini d'étapes). C'est la théorie de la calculabilité qui s'occupe de ces questions je crois.
Mais en théorie, les réels sont parfaitement définis via les constructions habituelles bien connues. C'est là Sneg ton point faible, étant donné que ton cursus universitaire n'a rien à faire avec les maths (je crois me souvenir que tu l'avais évoqué une fois) tu n'as jamais vu ces constructions par conséquent tu ne peux pas te faire une opinion correcte de ces notions. -
Merci à Rescassol et lourrran. Pardonnez-moi de ne répondre maintenant qu’à Dom : Non, si ce n’est d’utiliser les symboles d’égalité et d’inégalite.
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Pardonnez-moi, mais saisir un commentaire devient impossible. Je ne sais pas pourquoi. En plus, j’ai présumé de mes forces, aujourd’hui. À une autre fois, pour la suite, peut-être. Merci à tous.
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Ok.Je ne sais pas si c’est la réponse à la question sur les suites $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ mais ça y ressemble.C’est pourtant ce que tu fais et ce que tu souhaites pouvoir faire avec l’idée de savoir si ce sont les mêmes nombres ou pas.Les suites sont égales se traduit comme suit :
Quel que soit l’entier $n$, $a_n=b_n$.Les suites ne sont pas égales se traduit comme suit :
Il existe un entier $n$ tel que : $a_n \neq b_n$.Ainsi, dans la preuve tant redoutée, il suffit de ne parler que des suites de chiffres derrière la virgule.On suppose qu’à chaque entier on peut associer une suite de chiffres.Je vais tenter une notation même si elle est maladroite.$1 \mapsto (1_1,1_2,1_3,…)$
$2 \mapsto (2_1,2_2,2_3,…)$
$3 \mapsto (3_1,3_2,3_3,…)$
$4 \mapsto (4_1,4_2,4_3,…)$
Dans cette présentation, les pointillés ne gênent pas (on peut s’en passer royalement).Je ne sais pas quelle est la suite $(1_n)_n$, ni toutes les autres…
Par contre j’impose qu’aucune n’est égale à une autre à savoir : quels que soient les entiers $k$ et $\ell$, si $k\neq \ell$ alors il existe un entier $n$ tel que $k_n \neq \ell_n$.Aussi, je suppose qu’à chaque entier, je peux associer une suite de chiffres ET (bijectivité oblige) qu’à chaque suite de chiffres je n’ai qu’un seul entier dont elle est l’image. En effet la question est : a-t-on une bijection entre $\mathbb N$ et l’ensemble des suites de chiffres.On se fiche ici des suites qui se terminent par que des $9$ pour le moment. C’est l’idée générale qu’on étudie. -
Mais l'application $0,abcde... \mapsto abcde...$ de $[0, 1[\rightarrow \mathbb{N}$ est bijective Alors pourquoi cet ensemble est non dénombrable ?
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Quelle est l'image de $\dfrac{1}{9}$ par cette application ?
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Enfin Dom, c'est "l'entier naturel" (sic) 111111111111..............
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
babsgueye t'es sérieux ou c'est de l'ironie ?
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
La discussion va être de plus en plus difficile...
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Elle est carrément impossible. Discuter de la bijectivité d'un truc qui n'a aucun sens, ça ne peut que mener à rien.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
Pire, un paramètre rédhibitoire concerne les personnes avec qui la discussion doit avoir lieu…
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Dom écrit $\dfrac19$ sous cette forme et tu trouves l'image.
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Dom, un de tes commentaires m’interpelle. (Quatre messages à toi plus haut.)
Tu as écrit : « Par contre j’impose qu’aucune (suite) n’est égale à une autre... »
Comment l’imposes-tu ?
Alice, elle , en fait la supposition.. Elle suppose, pour que son raisonnement tienne debout, qu’aucune ligne horizontale de la liste exhaustive des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$ n’est égale à une autre (Ok, je l’ai dit autrement, dans mon histoire. Mais c’est exactement ça). De sorte que...l’argument diagonal repose sur une supposition, ce qui nous ramène au raisonnement d’Alice.
(Je pourrais réfuter les commentaires récents concernant les rationnels, mais je n’ai pas la force de le faire aujourd’hui.)
À une autre fois, j’peut-etre. -
Qu'est-ce que je disais...
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Cette application est mal définie :
L'image de 0,1 n'est pas la même que l'image de 0,10 et pourtant 0,1 et 0,10 sont égaux...
Bref.
Mais il manque encore un intervenant dont j'ai oublié le nom, ça devrait être sympa. -
babsgueye a dit :Dom écrit $\dfrac19$ sous cette forme et tu trouves l'image.(Je n'arrive pas à mettre un lien. J'essaie de faire comme dans l'ancien forum, sans succès.)[La souris sur la date du message, Clic droit > Copier le lien > Coller où tu veux. AD]Si on applique ton truc, "l'image" de 1/9 donne une infinité de 1, ceci n'est pas un nombre entier naturel.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
Dom a dit :Je ne sais pas quelle est la suite $(1_n)_n$, ni toutes les autres…
Par contre j’impose qu’aucune n’est égale à une autre à savoir : quels que soient les entiers $k$ et $\ell$, si $k\neq \ell$ alors il existe un entier etc.Dom, ton commentaire où Tu as écrit : « Par contre j’impose qu’aucune (suite) n’est égale à une autre... » m’interpelle.
Comment l’imposes-tu ?
Alice, elle, en fait la supposition. Elle suppose, pour que son raisonnement tienne debout, qu’aucune ligne horizontale de la liste exhaustive des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$ n’est égale à une autre (Ok, je l’ai dit autrement, dans mon histoire. Mais c’est exactement ça). De sorte que...l’argument diagonal repose sur une supposition, ce qui nous ramène au raisonnement d’Alice.
(Je pourrais réfuter les commentaires récents concernant les rationnels, mais je n’ai pas la force de le faire aujourd’hui.)
À une autre fois, peut-être.
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@Sneg, Est-ce que la "longueur" d'un quark en mètre appartiendra à $\mathbb{N}$? $\mathbb{Q}$? $\mathbb{R}$?Je suis donc je pense
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Et bien... sais-tu au moins ce que l'on est en train de faire ? qu'est-on en train d'essayer de prouver ?
On dit "montrons qu'il n'existe pas de bijection entre l'ensemble des suites de chiffres et $\mathbb N$".
Alors on commence par "supposons qu'il en existe une".
On suppose donc qu'il existe une application qui, à chaque entier, renvoie une suite de chiffres et que chaque suite de chiffres est l'image d'un seul entier par cette application.
J'avais été prévenu, tu sembles vouloir discuter d'un truc auquel tu te désintéresses, ce n'est pas bien aimable...
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Je vais me répéter mais "le problème" de Sneg est très probablement celui mentionné ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2334290/#Comment_2334290.
Ça se confirme lorsqu'elle dit : « Par contre j’impose qu’aucune (suite) n’est égale à une autre... » m’interpelle. Comment l’imposes-tu ?
Pour elle, la définition (intuitive à ce niveau) d'une suite infinie de symboles est problématique.
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Raoul, tu as peut-être raison.
Soit c'est le raisonnement de la preuve qui n'est pas compris ("pourquoi l'imposes-tu ?"), soit c'est le problème que tu pointes avec l'infinité de symboles. -
@Dom j'essayait juste de donner un exemple de nombre réel parfaitement déterminé... (et n'ayant aucun sens mathématique)Je suis donc je pense
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Dom,Dom a dit :Et dans $\mathbb Q$ non plus.En fait, Sneg a déjà un problème avec $\mathbb Q$.
Toutes ses complaintes s’adaptent à l’ensemble des rationnels.Petit défi : essayer d’appliquer la démonstration aux rationnels et voir si cela mène à une contradiction.Mais pour cela faut-il encore avoir compris les mécanismes mis en jeu.
je vois que tu as aussi fait ce commentaire ?
Tu me crois bête au point de ne pas avoir testé mon raisonnement sur $\mathbb{Q}$ ?
Pour ta punition, je te laisse trouver la solution.
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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