L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Tangentes à la parabole
dans Géométrie
Bonjour,
Comment prouver synthétiquement que les tangentes à une parabole menées d'un point sont égales à condition que ce point appartienne à l'axe ?
La preuve analytique est simple, mais plus il y a de preuves plus on rit.
A+
Comment prouver synthétiquement que les tangentes à une parabole menées d'un point sont égales à condition que ce point appartienne à l'axe ?
La preuve analytique est simple, mais plus il y a de preuves plus on rit.
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Réponses
Peut-être grâce à de simples considérations de symétrie ? Serait-ce suffisant ?
Bien cordialement, JLB
Alors rions!
La figure ci-dessous montre un triangle harpon quelconque de la parabole.
La médiane $AA'$ est la direction asymptotique de la parabole.
$F$ est le foyer.
Les triangles $FBA$ et $FAC$ sont directement semblables.
Donc:
$$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{FB}{FA}=\dfrac{FA}{FC}$$
Si on suppose de plus $AB=AC$, alors les égalités précédentes montrent que $F$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Comme ce triangle $ABC$ est isocèle en $A$, le point $F$ se trouve sur l'axe de symétrie $AA'$ du triangle isocèle.
Par suite la droite $AA'$ passant par le foyer et définissant la direction asymptotique de la parabole ne peut être que son axe!
A-t-on bien rigolé?
Bof!
Amicalement
pappus
J'avais pensé à la propriété dont à propos de laquelle la tangente est la médiatrice du segment reliant le foyer au..., mais bon ?
A+
J'ai déniché ce qui suit.
A+