Série de fonctions holomorphes

L2M · January 2022

Bonjour

Soit $\sum_{n=0} u_n x^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. La série $(*)\quad \sum_{n=0} \binom{z}{n} u_n x^n,$ ($z\in\mathbb{C}$) aura donc un rayon de convergence $\rho\geq R$ (la série binomiale converge pour $|x|<1$).

Soit $x$ un réel fixé, $0<x<\rho$. Pour montrer que la fonction $z\mapsto \sum_{n=0} \binom{z}{n} u_n x^n$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$, il suffit de montrer que la série $(*)$ converge uniformément ou normalement, pour $z$, sur $\mathbb{C}$.

Est-ce qu'on peut majorer $\binom{z}{n} u_n x^n$ par un terme indépendant de $z$ et dont la série converge ?

Merci.

Math Coss · January 2022

Il me semble plus commode de majorer brutalement le coefficient binomial par une constante pour $z$ dans un disque, ce qui assure la convergence normale sur tout compact.

L2M · January 2022

Math Coss.

Le problème : $x$ fixé. Soit $K$ un compact de $\mathbb{C}$.

- Si on fixe un $n\in \mathbb{N}$, alors pour tout $z\in K$, $|\binom{z}{n}|\leq C_n$ (la constante dépendra de $n$).

- Si on fixe $z$, alors pour tout $n\in \mathbb{N}$, $|\binom{z}{n}|$ ne peut pas être majoré.

Il est difficile pour moi de majorer $|\binom{z}{n}|$, sur $K$, par une constante indépendante de $z$ et $n$.

JLapin · January 2022

Essaye juste de majorer indépendamment de $z$.

L2M · January 2022

Soit $r$ un réel arbitraire, $x<r<\rho$. La suite $\left( \binom{z}{n} u_n r^n \right)_n$ est bornée. Il existe donc un $M_z$ tel que, pour tout $n$, $\left\lvert \binom{z}{n} u_n r^n \right\rvert \leq M_z$. Ainsi,

$$\left\lvert \binom{z}{n} u_n x^n \right\rvert = \left\lvert \binom{z}{n} u_n r^n \right\rvert \left(\frac{x}{r}\right)^n \leq M_z\left(\frac{x}{r}\right)^n$$

La série $M_z \sum_{n=0} \left(\frac{x}{r}\right)^n$ converge, mais elle dépend de $z$.

L2M · January 2022

Math Coss

Soit $|z| \leq M$. On a : $$\binom{z}{n} = \frac{z(z-1)(z-2)...(z-n+1)}{n!} $$

Ainsi, pour $n \geq 1$, $$\left\lvert \binom{z}{n} \right\rvert \leq \frac{|z|(|z|+1)(|z|+2)\cdots(|z|+n-1)}{n!} \leq \frac{M(M+1)(M+2)\cdots(M+n-1)}{n!} = \binom{-M}{n} (-1)^n.$$

Merci.