Cadeau de Noël de gebrane
Dans un autre fil gebrane a fait mention de ce problème. Montrer que $ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(2^{k}\mod k\right)}{k^{2}}$ diverge. C'est intéressant et difficile a priori. Je propose ici d'essayer de le généraliser. Soit $m\geq2$ un entier alors il semble qu'il existe une constante $C(m)>0$ telle qu'en moyenne $$\sum_{k=1}^{n}\left(m^{k}\mod k\right)\sim C(m)n^{2}\ \left(n\rightarrow\infty\right),$$ ce qui impliquerait la divergence de la série $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(m^{k}\mod k\right)}{k^{2}}$, avec $\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(m^{k}\mod k\right)}{k^{2}}\sim K\log n$, avec $K >0$.
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Réponses
$$\sum_{j=0}^{m-1}\frac{u_{mk+j}}{(mk+j)^{2}}>\sum_{j=0}^{m-1}\frac{u_{mk+j}}{(mk+m)^{2}}=\frac{1}{m^{2}(k+1)^{2}}\sum_{j=0}^{m-1}u_{mk+j}\geq\frac{k}{m^{2}(k+1)^{2}}$$
et on aurait
$$\sum_{n=1}^{mN}\frac{u_{n}}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=0}^{m-1}\frac{u_{mk+j}}{(mk+j)^{2}}\geq\frac{1}{m^{2}}\sum_{k=1}^{N}\frac{k}{(k+1)^{2}}\sim\frac{\log N}{m^{2}}$$
et donc $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_{n}}{n^{2}}$ divergerait.
$$\sum_{j=0}^{m-1}u_{mk+j}\geq\frac{k}{\log(k+1)}$$
Et je pense que $m=16$ marche (vérifié pour $1\leq n\leq 10^{6}$ ) ce qui donnerait
$$\sum_{j=0}^{m-1}\frac{u_{mk+j}}{(mk+j)^{2}}>\sum_{j=0}^{m-1}\frac{u_{mk+j}}{(mk+m)^{2}}=\frac{1}{m^{2}(k+1)^{2}}\sum_{j=0}^{m-1}u_{mk+j}\geq\frac{k}{m^{2}(k+1)^{2}\log(k+1)}$$
et on aurait
$$\sum_{n=1}^{mN}\frac{u_{n}}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{N}\sum_{j=0}^{m-1}\frac{u_{mk+j}}{(mk+j)^{2}}\geq\frac{1}{m^{2}}\sum_{k=1}^{N}\frac{k}{(k+1)^{2}\log(k+1)}\sim\frac{\log\log N}{m^{2}}$$
et donc $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_{n}}{n^{2}}$ divergerait.
Je prends $m$ suffisamment grand, disons $m \geqslant e^{27B^4}$ où $B$ est une constante qui apparaît ci-dessous, et $3 \leqslant n \leqslant m (\log m)^{-24}$. Je rappelle que $\psi(t) = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2} = \{t \} - \frac{1}{2}$ est la $1$ère fonction de Bernoulli et que toute somme indicée par la lettre $p$ ne porte uniquement que sur les nombres premiers.
On a tout d'abord par Petit Fermat et le Théorème des Nombres Premiers
$$S_1 = \sum_{p \leqslant n} ( m \bmod p) = \sum_{p \leqslant n} p \left\{ \frac{m}{p} \right \} = \frac{1}{2} \sum_{p \leqslant n} p + \sum_{p \leqslant n} p \, \psi \left( \frac{m}{p} \right) = \frac{n^2}{4 \log n} + O \left( \frac{n^2}{(\log n)^2} \right) + E(m,n)$$
avec $E(m,n) := \sum_{p \leqslant n} p \, \psi \left( m/p \right)$. Pour estimer ce terme d'erreur, on utilise la proposition suivante, qui est un résultat de type Walfisz et dont la démonstration, pas évidente, n'a pas grand intérêt ici.
Proposition. Soit $g : \mathbb{Z}_{\geqslant 1} \to \mathbb{C}$ une fonction multiplicative telle qu'il existe une constante $C \geqslant 2$ telle que $|g(p)| \leqslant C$ et, pour tout $x \geqslant 4$, $\sum_{p_n \leqslant x} \left| g \left( p_{n+1} \right) - g \left( p_{n} \right) \right|^2 \leqslant C (\log x)^C$ . Alors, il existe $B = B(C) \geqslant 1$ tel que, pour tous réels $x \geqslant e^{27 B^4}$ et $N < N_1 \leqslant 2N$ avec $4 \leqslant N \leqslant x$, on ait
$$\sum_{N < p \leqslant N_1} g(p) \, \psi \left( \frac{x}{p} \right) \ll_{C} \; \frac{N}{(\log x)^5} + \left( \frac{N^3}{x} \right)^{1/2} (\log x)^{C+5} + \frac{\sqrt{x}}{(\log x)^{2/3}}.$$
On splitte l'intervalle $[2,n]$ de sommation en $O(\log n)$ sous-intervalles dyadiques $]N,2N]$, on fait une sommation partielle, puis on utilise cette proposition avec $g= \mathbf{1}$ et donc $C=2$, ce qui donne
\begin{align*}
E(m,n) & \ll \max_{N \leqslant n} \left( \frac{N^2}{(\log m)^5} + \left( \frac{N^5}{m} \right)^{1/2} (\log m)^7 + \frac{N\sqrt{m}}{(\log m)^{2/3}} \right) \log n \\
& \ll \frac{n^2}{(\log m)^4} + \left( \frac{n^5}{m} \right)^{1/2} (\log m)^8 + n \sqrt{m} (\log m)^{1/3} \\
& \ll \frac{n^2}{(\log m)^4} + n \sqrt{m} (\log m)^{1/3}
\end{align*}
car le $2$nd terme est dominé par le $1$er via $n \leqslant m (\log m)^{-24}$.
Conclusion. Si $m \geqslant e^{27B^4}$ et $3 \leqslant n \leqslant m (\log m)^{-24}$,
$$\sum_{p \leqslant n} \left( m^p \bmod p \right) = \frac{n^2}{4 \log n} + O \left( \frac{n^2}{(\log n)^2} + n \sqrt{m} (\log m)^{1/3} \right).$$
Ici, j'ai cherché une formule asymptotique : elle n'a vraiment de sens que pour $m$ grand. Je n'ai pas, en cela, suivi la démarche de Gebrane.
Maintenant, si tu souhaitais $m$ fixé et, disons, petit, par exemple $m=2$ comme dans celle de Gebrane, alors le problème est différent.
Un autre exemple (plus ou moins) similaire : montrer pour $m \geqslant n$ tels que $m^{1/3} \ll n \leqslant \sqrt{2m}$ l'égalité
$$\sum_{d=1}^n \left( m \bmod d \right)^2 = \frac{n^3}{9} + O \left( n^2 m^{1/3} \log n \right).$$
La réponse est donnée dans le livre (que je conseille fortement) https://www.amazon.fr/Arithmetic-Tales-Advanced-Universitext-English-ebook/dp/B08P6VCK68/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&crid=3VX2FCOFTKBYO&keywords=arithmetic+tales&qid=1641053688&sprefix=arithmetic+tales,aps,72&sr=8-1, Exercice 125 page 511, corrigé page 760.
J'avais fait, sous l'ancien forum, un(e) review de cet ouvrage il y a peu. maintenant, faut retrouver le message en question, et ça...