Extensions de corps

 Heureuse année à tous !!
 Soient $K$ un corps, $\bar{K}$ une clôture algébrique de $K$ et $L$ une extension de $K$ contenue dans $\bar{K}$. On pose : $L_{K}=\{x\in L\mid\forall \sigma \in \mathrm{Hom}_{K}(L,\bar{K}),~\sigma(x)=x \}$.
    1) Montrer que $L_{K}$ est un sous-corps de $L$ contenant $K$.
    2) On suppose $L/K$ séparable. Montrer que $L_{K}=K$.
    3) Soient $\mathbb{K}$  un corps de caractéristique $p$ et $x\in \mathbb{K}$ transcendant sur $\mathbb{F}_{p}$. Soient $K=\mathbb{F}_{p}(x^p)$ et $L=\mathbb{F}_{p}(x)$. Montrer que $L_{K}=L$.

 Pour la première question, il n'y a pas de problème. Pour la seconde, je bloque. Voici ce que j'ai entrepris.
 Il me suffira de montrer que $L_{K} \subset K$. 
 Soit $a \in L_{K}$ et $P_{a}$ le polynôme minimal de $a$ dans $K[x]$.
 Pour montrer que $a\in K$, j'ai pensé à montrer que $P_{a}(x)=x-a$ ce qui me permettrait de conclure. Maintenant pour montrer que $P_{a}$ est sous la forme $x-a$ je veux montrer que $a$ est l'unique racine de $P_{a}$ et ensuite utiliser le fait que mon extension est séparable. Je prends alors une autre racine $b$ de $P_{a}$ dans $\bar{K}$. Je sais alors qu'il existe un isomorphisme $f:K(a) \rightarrow K(b)$ tel que $f(a)=b$.  Je voulais alors trouver un moyen de prolonger $f$ sur $L$  et ensuite utiliser le fait que $a\in L_{K}$ mais je coince à ce niveau.
 Pour la question 3, je n'ai aucune idée.
 Quelqu'un a une idée qui pourrait me faire avancer sur les questions 2 et 3 ?? Merci d'avance pour vos suggestions.