Une nouvelle
Bonjour.
Joyeux réveillon ! Et bonne année 2022 à toutes et à tous !
Grand merci à celles et ceux qui liront la nouvelle que voici (et que je dédie en particulier à nodgim et à Claude Quitté) :
Une nouvelle - Page 3 — Les-mathematiques.net
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Réponses
Bob : Mais Alice, depuis le temps tu devrais savoir qu'étant donné un réel $x$ il n'existe pas de "plus petit réel qui lui est strictement supérieur".
Bob : Bien sûr que de tels "ensembles" sont snobés étant donné que ce ne sont pas des ensembles.... Alice dois-je te rappeler l'axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel ?
Qu’on l’approuve ou pas, le raisonnement d’Alice est destiné à prouver, grâce à l’argument diagonal reposant sur une supposition aux yeux d’Alice indispensable, que l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité est un ensemble dont les éléments ne sont pas « tous déterminés et bien distincts les uns des autres ».
Alice se rend compte que c’est là une porte ouverte vers « un nouveau monde mathématique », comme elle l’a dit à Bob tout en l’invitant à venir l’explorer. C’est sûr qu’on n’y retrouvera pas toute l’axiomatique existante. La seule chose qui importe, au fond, c’est de savoir si l’idée d’Alice donne naissance à un monde mathématique cohérent. Et pour le savoir, il faut y pénétrer.
Ce que dit Alice à propos des réels est en partie juste, mais ça ne veut pas dire que les réels ne sont pas tous déterminés et bien distincts les uns des autres. En fait je pense plutôt que ce que veut dire Alice est qu'il n'existe aucun algorithme qui permet de dire en un nombre fini d'étapes si deux nombres réels $x$ et $y$, donnés via leur développement décimal, sont égaux.
C'est effectivement un "nouveau monde mathématique"
Je ne veux pas t’obliger à aller plus loin.
Bonjour, et bonne année 2022 !
$0,785398163397\cdots$
(Ce qui est entre crochets ci-dessous a été ajouté postérieurement à une remarque de Dom.)
Les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité présentent la particularité de pouvoir représenter une infinité de valeurs différentes tout en n’en représentant aucune avec précision. Je dis d’un nombre présentant cette particularité qu’il est « non déterminé ».
Or, dans l’argument diagonal, chaque nombre [écrit sous forme de] (à) développement décimal illimité qui figure dans une liste de ce genre-ci :
1) $\color{red}{0}\color{black},000000000000\cdots$
2) $0,\color{red}{3}\color{black}57912638101\cdots$
3) $0,5\color{red}{0}\color{black}0000000000\cdots$
4) $0,06\color{red}{2}\color{black}626262626\cdots$
5) $0,785\color{red}{3}\color{black}98163397\cdots$
6) $0,6283\color{red}{1}\color{black}8530717\cdots$
$\vdots$
est censé ne représenter qu’une seule et unique valeur précise. (Je dis d’un nombre représentant une seule et unique valeur précise qu’il est « déterminé ».)
Par quel procédé un nombre non déterminé peut-il devenir déterminé dans un raisonnement ?
(Alice, elle, en fait la supposition : « À supposer que les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité deviennent, dans l’argument diagonal, des nombres déterminés, alors je peux en dresser la liste (sinon, je ne pourrais pas). Mais, ce faisant sans qu’on puisse me reprocher quoi que ce soit, mon listage aboutit à une contradiction. Donc, ma supposition initiale est fausse, et les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité sont et restent bel et bien non déterminés. C’est tout ce que prouve l’argument diagonal. Etc. »)
Merci d’avance.
Sneg dit :
...Pour me faire comprendre : le nombre 0,357⋯ ne représente pas un seul nombre mais tous les nombres commençant par « 0,357 » et cette remarque restera applicable quel que soit le nombre de décimales qui précéderont les trois petits points finaux.
Partant, plus généralement, pas question de délimiter avec précision la moindre partie propre de ce genre d’ensemble. Donc, l’ensemble des parties de ce genre d’ensemble ne peut contenir avec précision que l’ensemble vide et l’ensemble tout entier.
Je ne vois pas pourquoi ''...que l'ensemble vide et l'ensemble tout entier''.
Les nombres représentés par ''0,3571'' ou ''0,35782'' sont bien des parties de l'ensemble ''0,357''.
Dans ton nouveau monde si tu prends ce gence d'ensembles comme des éléments, tu arrives à montrer les injections et surjections que tu veux, et que $\mathbb{N}$ a beaucoup moins d'éléments que $[0, 1]$.
Les nombres $\underline{écrits}$ sous forme de développement décimal illimité, quel que soit le nombre de décimales précédant les trois petits points, présentent la particularité de pouvoir représenter une infinité de valeurs différentes tout en n’en représentant aucune avec précision.
Dans l’argument diagonal, c’est bien de ces nombres qu’il s’agit. Oui, non ?
J’ai modifié mon message précédent en conséquence.
Non.
Cordialement,
Rescassol
écrire un nombre réel en n’écrivant que ses $N$ premières décimales c’est la même chose que de parler d’une suite dont on connaît ses $N$ premiers termes. On ne peut pas en faire grand chose.
mais comment être sûr que la suite
$r_1=0,0000000\cdots$ (Tiens, encore des petits points, pardon.)
est distincte de
$r_2=0,0000000\cdots$
?
Cette question n'a pas de sens mathématique. Pour comprendre le sens que tu lui donnes dans ta tête, il faut parler un langage commun, celui des maths et là ce n'est pas le cas.
Ok, je fais preuve d’un peu trop d’optimisme.
@raoul.S : Si chercher à comprendre, c’est s’entêter, alors je veux bien qu’on dise que je m’entête.
Conclusion. Qu’on arrête de présenter (presque) partout l’argument diagonal au moyen d’une liste de réels écrits sous forme de développement décimal illimité. D’autant que gerard0 a écrit : « Dans l’argument diagonal, ... , mais on ne les écrit pas. »
Est-ce que cette dernière remarque signifie que dans ce raisonnement, il est question d’éléments possédant certaines propriétés, dont celle d’être distincts, sans forcément les écrire ?
les éléments de la suite diagonale peuvent être égaux puisqu’en général ce sont les termes d’une suite de symboles dont le cardinal est fini.
Ta dernière remarque m'étonne un peu, puisque j’ai lu quelque part que, en s’y prenant bien (je simplifie), il n’y avait plus de problème de double représentation.
Considères-tu que le nombre à développement décimal illimité suivant $0,09111501\cdots$ (pardon pour les pointillés) représente une valeur précise, exacte, unique ?
(C’est affreux, quand je veux supprimer un caractère, il arrive que je voie tout mon message disparaître lettre par lettre sous mes yeux sans que je puisse faire quoi que ce soit. Cela arrive aussi à d’autres ?)
penses tu que le nombre entre $3$ et $4$ est plus proche de $\pi$ que de $3,7$ ?
Ma question est mal formulée et n’a pas de sens.
Alors, est-ce que cela voudrait dire que ce nombre représente au moins deux valeurs approximatives distinctes ?
(Ce nombre doit bien représenter quelque chose.)
Penses-tu que l’intervenant du forum est un analyste ou un algébriste ?
Encore un autre.
Le nombre premier inférieur à 100 qui se finit par 3.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
toi aussi, ça te paraît bizarre de dire « ce » nombre, comme s’il n’y en avait qu’un seul !?!
j’en tombe de ma chaise ! C’est ce que je m’évertue à dire depuis le début.
Dans l’argument diagonal, où l’on présente les réels de la façon suivante :
1) $\color{red}{0}\color{black},000000000000\cdots$
2) $0,\color{red}{3}\color{black}57912638101\cdots$
3) $0,5\color{red}{0}\color{black}0000000000\cdots$
4) $0,06\color{red}{2}\color{black}626262626\cdots$
5) $0,785\color{red}{3}\color{black}98163397\cdots$
6) $0,6283\color{red}{1}\color{black}8530717\cdots$
chaque réel est présenté comme étant un seul élément, alors que ce n’est pas le cas. C’est ce qui fait dire à Alice que « vouloir mettre $\mathbb{N}$ en bijection avec l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité reviendrait à vouloir mettre un ensemble de pommes bien rondes en bijection avec un autre ensemble de pommes ... présentées sous forme de compote ».
Pour que chacun de ces réels écrits sous forme de développement décimal illimité soit considéré comme un seul élément, il faut l’imaginer, le supposer. C’est ce que fait Alice. Partant, elle fait reposer l’argument diagonal sur une supposition, ce qui change tout. Car, alors, l’argument diagonal et sa contradiction prouvent juste que chacun de ces nombres n’est pas « un seul élément ».
$x=0,x_1x_2x_3…$
$y=0,y_1y_2y_3…$
... c’est-a-dire qu’il existe une suite de développements décimaux « qu’on considérera, chacun, comme représentant un unique objet mathématique » (précision nécessaire à mes yeux car, pour moi, chacun en représente une infinité) ...
J’imagine que tu vas me dire que non.
Si elle en répète quelques uns, on s’en fiche.
Je veux bien que tu nous montres une preuve où ce passage n’est pas clair, si tu veux.
Concernant les trois points : si tu devais exposer par écrit à quelqu'un un argument concernant la suite des entiers positifs, tu écrirais comment cette suite ?
Tu pourrais par exemple lui dire, "soit 0,1,2,3,4,5,..." la suite des entiers positifs. Ou bien tu pourrais encore lui dire "soit 0,1,2,3,4,5, etc." la suite des entiers positifs.
Tu es bien d'accord que dans ce cas les trois points "..." ou le "etc." sont juste là pour dire "supposons que j'ai écrit l'infinité des nombres entiers". Mais tu ne mettrais jamais en discussion le fait que la suite de ces nombres représente une suite précise j'espère, juste parce que tu ne les as pas tous écrits.
Là où nos chemins divergent entre vous et moi, c’est que je fais reposer obligatoirement ce raisonnement sur la supposition selon laquelle les éléments de l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité sont de même nature que ceux de $\mathbb{N}$, c’est-à-dire « déterminés et bien distincts les uns des autres » (car s’ils ne le sont pas, c’est inutile de vouloir en dresser la liste). Dom me dit que cette expression entre guillemets, employée pourtant par Cantor lui-même, est trop vague, malgré tous mes exemples donnés.
Peut-être qu’un vrai mathématicien exprimera un jour cette idée en vrai langage mathématique. Moi, je l’ai traduite comme je pouvais, sous forme d’une nouvelle.
En ce qui me concerne, je reste sur ma faim, car aucun argument avancé ne me prouve que les éléments de $[0, 1[ sont « déterminés et bien distincts les uns des autres », pour reprendre les termes de Cantor. On me dira que j’ai tort de m’accrocher à cette expression, mais je n’en connais pas d’autre.
Merci à tous, en particulier Dom, à qui j’espère ne pas avoir pourri son premier de l’an et à qui je remercie de m’avoir tenu compagnie à distance. Je suis en quarantaine et pas au mieux de ma forme.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
quel est le problème avec les éléments de $[0;1[$ ?
quand tu parles de ce passage :
« les éléments de $[0;1[$ sont bien déterminés et distincts les uns des autres »
C’est je pense le point de départ de la preuve, à savoir « Supposons que… »
- « Déterminé », je ne sais pas ce que c’est, et j’imagine que cela signifie, « atteint » (surjection) et que la suite est bien définie (on a bien une seule image pour chaque entier naturel).
Encore une fois c’est le point de départ.
Je commence par dire (comme toi ?) : « Supposons que ces nombres (tu devines lesquels) soient déterminés et bien distincts les uns des autres, alors je peux les dénombrer (sinon je ne pourrais pas). Seulement, en les dénombrant j’obtiens une contradiction. J’en conclus que ces nombres ne sont pas déterminés et bien distincts les uns des autres. » Et la, apparemment, on n’est plus d’accord. Toi, tu sembles (?) arriver à la conclusion que ces nombres restent déterminés et bien distincts les uns des autres, mais que malgré tout ils sont non dénombrables. Oui, non ?
Si tu dis comme moi, alors tu as compris.