Une nouvelle

Bonsoir, @Dom :
Je ne veux pas t’obliger à aller plus loin.

Bonjour, et bonne année 2022 !

$0,785398163397\cdots$

(Ce qui est entre crochets ci-dessous a été ajouté postérieurement à une remarque de Dom.)

Les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité présentent la particularité de pouvoir représenter une infinité de valeurs différentes tout en n’en représentant aucune avec précision. Je dis d’un nombre présentant cette particularité qu’il est « non déterminé ».

Or, dans l’argument diagonal, chaque nombre [écrit sous forme de] (à) développement décimal illimité qui figure dans une liste de ce genre-ci :

1) $\color{red}{0}\color{black},000000000000\cdots$

2) $0,\color{red}{3}\color{black}57912638101\cdots$

3) $0,5\color{red}{0}\color{black}0000000000\cdots$

4) $0,06\color{red}{2}\color{black}626262626\cdots$

5) $0,785\color{red}{3}\color{black}98163397\cdots$

6) $0,6283\color{red}{1}\color{black}8530717\cdots$

$\vdots$

est censé ne représenter qu’une seule et unique valeur précise. (Je dis d’un nombre représentant une seule et unique valeur précise qu’il est « déterminé ».)

Par quel procédé un nombre non déterminé peut-il devenir déterminé dans un raisonnement ?

(Alice, elle, en fait la supposition : « À supposer que les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité deviennent, dans l’argument diagonal, des nombres déterminés, alors je peux en dresser la liste (sinon, je ne pourrais pas). Mais, ce faisant sans qu’on puisse me reprocher quoi que ce soit, mon listage aboutit à une contradiction. Donc, ma supposition initiale est fausse, et les nombres [écrits sous forme de] (à) développement décimal illimité sont et restent bel et bien non déterminés. C’est tout ce que prouve l’argument diagonal. Etc. »)

Merci d’avance.

Ok, Dom, j’ai oublié d’écrire une partie de ma phrase. (Dans le message initial de ce fil, je n’ai pourtant pas arrêté d’écrire « écrits sous forme de développement décimal illimité »). Je reprends :

Les nombres $\underline{écrits}$ sous forme de développement décimal illimité, quel que soit le nombre de décimales précédant les trois petits points, présentent la particularité de pouvoir représenter une infinité de valeurs différentes tout en n’en représentant aucune avec précision.

Dans l’argument diagonal, c’est bien de ces nombres qu’il s’agit. Oui, non ?

J’ai modifié mon message précédent en conséquence.

Ok, les garçons.

@raoul.S : Si chercher à comprendre, c’est s’entêter, alors je veux bien qu’on dise que je m’entête.

Conclusion. Qu’on arrête de présenter (presque) partout l’argument diagonal au moyen d’une liste de réels écrits sous forme de développement décimal illimité. D’autant que gerard0 a écrit : « Dans l’argument diagonal, ... , mais on ne les écrit pas. »
Est-ce que cette dernière remarque signifie que dans ce raisonnement, il est question d’éléments possédant certaines propriétés, dont celle d’être distincts, sans forcément les écrire ?

Les éléments figurant dans l’argument diagonal ne sont donc pas distincts ?

Dom, permets-moi de sauter du coq à l'âne.

Considères-tu que le nombre à développement décimal illimité suivant $0,09111501\cdots$ (pardon pour les pointillés) représente une valeur précise, exacte, unique ?

(C’est affreux, quand je veux supprimer un caractère, il arrive que je voie tout mon message disparaître lettre par lettre sous mes yeux sans que je puisse faire quoi que ce soit. Cela arrive aussi à d’autres ?)

J’interprète ta réponse comme étant « Non, ce nombre ne représente pas une valeur précise, exacte, unique ».

Alors, est-ce que cela voudrait dire que ce nombre représente au moins deux valeurs approximatives distinctes ?
(Ce nombre doit bien représenter quelque chose.)

JLapin, pour ne citer que lui, a l’air de penser que je ne comprends pas l’argument diagonal tel qu’il est présenté un peu partout, c’est-à-dire genre « L’argument diagonal pour les nul(le)s ». Je comprends ce raisonnement et ne le conteste pas. Au point même que je m’en sers dès le message initial de ce fil.

Là où nos chemins divergent entre vous et moi, c’est que je fais reposer obligatoirement ce raisonnement sur la supposition selon laquelle les éléments de l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité sont de même nature que ceux de $\mathbb{N}$, c’est-à-dire « déterminés et bien distincts les uns des autres » (car s’ils ne le sont pas, c’est inutile de vouloir en dresser la liste). Dom me dit que cette expression entre guillemets, employée pourtant par Cantor lui-même, est trop vague, malgré tous mes exemples donnés.

Peut-être qu’un vrai mathématicien exprimera un jour cette idée en vrai langage mathématique. Moi, je l’ai traduite comme je pouvais, sous forme d’une nouvelle. 

En ce qui me concerne, je reste sur ma faim, car aucun argument avancé ne me prouve que les éléments de $[0, 1[ sont « déterminés et bien distincts les uns des autres », pour reprendre les termes de Cantor. On me dira que j’ai tort de m’accrocher à cette expression, mais je n’en connais pas d’autre.

Merci à tous, en particulier Dom, à qui j’espère ne pas avoir pourri son premier de l’an et à qui je remercie de m’avoir tenu compagnie à distance. Je suis en quarantaine et pas au mieux de ma forme.

C’est drôle, Dom, on semble dire la même chose au départ, mais pas à l’arrivée.

Je commence par dire (comme toi ?) : « Supposons que ces nombres (tu devines lesquels) soient déterminés et bien distincts les uns des autres, alors je peux les dénombrer (sinon je ne pourrais pas). Seulement, en les dénombrant j’obtiens une contradiction. J’en conclus que ces nombres ne sont pas déterminés et bien distincts les uns des autres. »    Et la, apparemment, on n’est plus d’accord. Toi, tu sembles (?) arriver à la conclusion que ces nombres restent déterminés et bien distincts les uns des autres, mais que malgré tout ils sont non dénombrables. Oui, non ?