Déterminer l'inf

Mohand31 · December 2021

Je n'ai pas pu faire une démonstration d'inf pour 1/n+1/n².

OShine · December 2021

Trouve un minorant le plus grand possible et utilise la caractérisation de la borne inférieure.

Quentino37 · December 2021

Sauf erreur, il suffit dériver $x\mapsto\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2},\ $ soit $\ \dfrac{-1}{x^2}+\dfrac{-2}{x^3}.$
Donc, le $x$ tel que $f(x)$ est le minimum de la fonction est la solution de l'équation :
$$\frac{-1}{x^2}=\frac{2}{x^3},\quad\text{d'où}\quad x=-2.$$
Donc le minimum de la fonction est $\displaystyle f(-2)={1\over4}-{1\over4}=\frac{-1}{2}$.

zeitnot · December 2021

Quentino, j'imagine que le n ci-dessus désigne un entier supérieur ou égal à 1.

Quentino37 · December 2021

Ah... et bien c'est 0 le plus grand minorant de la fonction sur $\mathbb{N^{*}}$?

OShine · December 2021

Quentino j'ai bien peur que oui mais il faut le démontrer rigoureusement en utilisant la caractérisation de la borne inférieure.
$\forall n \in \N^{*}, \ \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2} \geq 0$ donc $0$ est un minorant.
Soit $\varepsilon >0$. On doit montrer qu'il existe $x_n \in \{ \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2} \mid n \in \N^{*} \}$ tel que $x < 0+ \varepsilon$
On cherche $x_n$ tel que $\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2} < \varepsilon$
Je laisse le soin à l'auteur de sujet de trouver un $x_n$ qui convient.

Quentino37 · December 2021

@OShine , Comme ça c'est assez rigoureux? (J'ai essayé de décortiquer au maximum)
Étape 1, démontrer que la fonction est décroissante sur $\mathbb{R^*}$
Étape 2, transformer $\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^2} = \varepsilon$ en une équation du second degrès.
Étape 3, résoudre l'équation avec une forme canonique.(c'est plus rapide qu'avec un $\Delta$ dont je n'ai jamais compris l'utilité.)
Étape 4, montrer qu'il existera toujours une solution positive à cette équation si $\varepsilon>0$
Étape 5, conclure.

OShine · December 2021

Tu te compliques la vie pour rien.
La suite tend vers 0 il existe forcément un rang a partir duquel elle est inférieure a epsilon.
Donc l'exercice est terminé en 2 lignes sans aucun calcul.

Quentino37 · December 2021

Oui mais j'ai essayé de décortiquer un truc trivial de manière rigoureuse...

OShine · December 2021

Ma méthode est rigoureuse

gerard0 · December 2021

"La suite est positive et tend vers 0 donc son inf est 0" est aussi rigoureux.

raoul.S · December 2021

@Quentino37 Oui c'est rigoureux. Cependant par curiosité à l'étape 3 ça veut dire quoi en pratique "résoudre l'équation avec une forme canonique (c'est plus rapide qu'avec un $\Delta$ dont je n'ai jamais compris l'utilité.)" ?

Quentino37 · December 2021

On prend $\displaystyle x^2+ax+b=(x+\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}+b=0$ donc $\displaystyle x=\pm \sqrt{-b+\frac{a^2}{4}}-\frac{a}{2}$

raoul.S · December 2021

Ah ok, ça veut juste dire en fait : j'ai la flemme d'apprendre par coeur la formule avec $\Delta$...

Quentino37 · December 2021

il n'y à aucun intérêt à apprendre une formule toute faite ou l'on doit calculer séparément le delta puis justifier le nombre de racine réel, etc. et ou si on oublie on ne sait plus comment faire et ou il est facile de se tromper... Je n'ai jamais aimé apprendre des choses par cœur (j'ai eu 9 de moyenne en allemand ce dernier trimestre... ._.') Les maths c'est comprendre pas apprendre... On n'apprend pas par cœur la formule de résolution de l'équation du 4ème degrés !

raoul.S · December 2021

Finalement c'est moi le fainéant qui a appris la formule avec $\Delta$ par cœur pour ne pas me retaper à chaque fois le calcul...
Tiens @gebrane si tu passes par là, est-ce que tu as appris par cœur toi la formule des racines d'un polynôme du deuxième degré ?
Quoi qu'il en soit le discriminant a un intérêt en soit... https://fr.wikipedia.org/wiki/Discriminant