Fonction holomorphe

L2M
L2M
Modifié (December 2021) dans Analyse
Bonsoir
Puisque toute fonction holomorphe est analytique, alors :
si $f$ est une fonction holomorphe en $a$ avec $f(a)=0$, la fonction $\frac{f(z)}{z-a}$ est aussi holomorphe en $a$.
Je veux m'assurer qu'il n'y pas de détail qui m'échappe dans cette proposition.
Merci.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Modifié (December 2021)
    Heu ... elle n'est pas définie en a.
    Cordialement.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2021)
    En effet, cette fonction se prolonge naturellement à $\C$ en une fonction holomorphe.

    Un autre résultat souvent utilisé dans le cours permet aussi de conclure : si $f$ est continue sur une partie ouverte $U$ de $\C$ et si $f$ est holomorphe sur $U$ privé d’un point, alors $f$ est holomorphe sur $U$.
  • L2M
    L2M
    Modifié (December 2021)
    Merci.
    Une autre chose que je ne comprend pas bien.
    Soit $\left( f_n(z) \right)$ une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ et convergente simplement, pour toute valeur de $U$, vers une fonction $f$.
    Pour montrer que $f$ est holomorphe sur $U$ on essaye presque toujours de vérifier que $\left(f_n(z)\right)$ converge uniformément sur tout compact $K$ de $U$.
    1- Pourquoi ce n'est pas suffisant de montrer la convergence uniforme sur $U$ ?
    2- Est-ce que la convergence normale sur $U$ est suffisante ?
  • skazeriahm
    skazeriahm
    Modifié (December 2021)
    La topologie de la convergence uniforme sur tout compact de l'ouvert $U$ est plus fine que la topologie de la convergence uniforme sur $U$ (au sens où une suite peut converger pour la première, pas pour la seconde, mais si une suite converge pour la seconde alors elle converge pour la première).
    La convergence normale est une notion qui concerne les séries de fonctions ; la convergence normale d'une série de fonctions entraine sa convergence uniforme (dans ce contexte), et donc sa convergence uniforme sur tout compact.
    La limite d'une suite de fonctions holomorphes pour la convergence sur tout compact est holomorphe.
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (December 2021)
    Ce ne sont pas les fonctions qui convergent, c'est la suite. 
    Il y a une implication triviale : CV uniforme sur $U$ $\implies$ CV uniforme sur tout compact de $U$. Comme la réciproque est fausse, il est "plus prudent" de chercher à prouver la deuxième. En particulier, comme il est suffisant de montrer la CV uniforme sur tout compact, c'est a fortiori suffisant sur l'ouvert entier. En revanche, il n'est pas nécessaire d'avoir la CV uniforme sur l'ouvert entier. 
    C'est quoi, la CV normale pour une suite de fonctions ?
  • L2M
    L2M
    Merci infiniment. Tout est clair maintenant.
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