Somme des entiers naturels

Bien que -1/8 n'a pas plus de sens pour le moment que -1/12. Je suis plus charmé par ce -1/8.

Salut.
En réfléchissant un peut à cette vidéo j'ai trouvé une fonction qui donne une valeur pour $n$ négatif grâce à la tangente hyperbolique.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sigmoïde_(mathématiques)#.C3.89criture_alternative
Ce n'est ni plus ni moins qu'une petite modification de la fonction (n(n+1))/2
Par contre je n'ai pas trouvé de fonction qui soit plus carrée et qui passe par 0.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+\frac{2}{1+e^{-10001}}-1)(\frac{2}{1+e^{-10001}}-1)}{2}$
Après réflexion il serait plus sage d’écrire.
En commanssant par compter à partir de n=0
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+\frac{2}{1+e^{-\infty impaire}}-1)(\frac{2}{1+e^{-\infty impaire}}-1)}{2}$
Examples:
0 pour n=0
0+1pour n=1
0+1+2 pour n=2
0-1 pour n=-1
0-1-2 pour n=-2
J'aimerais trouver une fonction qui soit quant même mieux que $\dfrac{2}{1+e^{-n}}-1$
Il doit être possible de faire de même pour toutes les valeurs de s de zeta.
C'est à dire réécrire les fonctions pour que n soit juste pour l'ensemble des entier relatif voir des entier relatif imaginaire
PS: Mon niveau en mathématique ne me permet pas de traiter les zetas non triviaux.
Cordialement.

Salut, je ne savais pas quoi faire de ma soirée. $$\sum_{k=1}^{no}k=n^2(\sum_{l=1}^{o}l)-o\sum_{m=0}^{n-1}m$$ $$\sum_{k=1}^{no}k=n^2\frac{o(o+1)}{2}-o\frac{n(n-1)}{2}$$ l'histoire du $\frac{-1}{8}$ est due au fait que $x^2 \mod 8 =1 $ pour $x$ impair et que celui qui présente la vidéo ne respecte pas la borne supérieure.
Exemple : $x=2y-1$ $$\frac{{(2y-1)}^2-1}{8}=\sum_{k=1}^{y}k$$
$x=4y$ $$\frac{{(4y)}^2}{8}=-4+6\sum_{k=1}^{y}k$$
$x=4y-2$ $$\frac{{(4y-2)}^2+4}{8}=-3+4\sum_{k=1}^{y}k$$
Reste a fouiner avec d'autres modulo.
Avec 4 ça fonctionne par exemple, 3 ça fonctionne aussi.
$$\frac{{(3y-2)}^2+2}{3}=2+\sum_{k=1}^{y}-7\sum_{l=1}^{k}6=2-7y+6\sum_{k=1}^{y}k$$
Bref on peut écrire une tripoté d’équations qui met en relation $x^2$ et $\sum x$
Avec un peu de réflexion on pourrait même prouver que $1+2+3+\ldots=\frac{-1}{3}$ à condition d'oublier la borne supérieure.