Approximation d'une application Riemann-intégrable

topopot
topopot
dans Analyse
Je recherche une démonstration de la propriété suivante :

Pour toute application Riemann-intégrable $f:[a,b]\rightarrow\mathbf{K}$ et tout $\epsilon\in\mathbf{R}_+^*$, il existe une application continue $\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{K}$ telle que $\int_a^b \lvert f-\varphi\rvert\leqslant\epsilon$. 

Je sais montrer qu'il existe une telle $\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{K}$ mais en escalier, pas forcément continue.


Réponses

  • Barjovrille
    Barjovrille
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,
    Soit $(a_1,a_2) \in [a,b]^2$, tu poses la suite de fonctions $g_n(x)=\min(1,nd(x,]a_1,a_2[^c))$ (ici d est la distance valeur absolue) il faut vérifier que c'est une suite de fonctions continues.
    Cette suite de fonctions tend simplement vers $\mathbf{1}_{]a_1,a_2[}$ et elle est dominée par $1$ qui est une fonction intégrable. Tu peux appliquer la convergence dominée version Riemann. Donc tu prends une fonction en escalier qui approxime ta fonction $f$ et tu l'approximes avec une combinaison linéaire des $g_n$.
  • rakam
    rakam
    Soit $a=a_0<a_1<\cdots<a_{n-1}<a_n=b$ est une subdivision adaptée à la fonction en escalier $\varphi$ et $\lambda_k$ la valeur prise par $\varphi$ sur $]a_{k-1},a_k[$.
    $\alpha$ étant inférieur au pas de la subdivision tu définis $g$ par les conditions 
    $a_{k-1}\leq t\leq a_k-\alpha\implies g(t)=\lambda_k,\quad 1\leq k\leq n-1$
    $a_k-\alpha\leq t\leq a_k\implies g(t)=\lambda_k+\dfrac{\lambda_{k+1}-\lambda_k}{\alpha}(t-a_k+\alpha)$  toujours pour $k<n$
    $a_{n-1}\leq t\leq b\implies g(t)=\lambda_n$
    La fonction $g$ est continue (affine par morceaux) (faire un dessin) et l'intégrale $\displaystyle\int_a^b|\varphi-g|=\dfrac{\alpha}2\sum_{1\leq k\leq n}|\lambda_k-\lambda_{k-1}|$ ce qui peut se majorer par $\varepsilon$ par choix de $\alpha$.
  • topopot
    topopot
    Merci à vous deux.
  • Dom
    Dom
    Autre méthode : même si c’est réglé 👌
    tu sais le faire pour des fonctions en escaliers, alors tu peux essayer d’approcher une fonction en escalier par des fonctions continues. 
  • MrJ
    MrJ
    @Dom : il me semble que c’est ce que font les deux solutions ci-dessus.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Oui, c’est même la seule chose que l’on puisse faire par définition de l’intégrale de Riemann. 
    C’était juste pour répondre au message original. 
    Aussi, aujourd’hui j’ai du mal à lire les messages latex qui sont davantage des « codes » quand ça passe à la ligne. 
  • topopot
    topopot
    Modifié (December 2021)
    @rakam je crois que ta preuve ne marche pas forcément. Il faut prendre une subdivision plus fine qu'un truc uniquement inférieur au pas, qui est, pour rappel égal à $\underset{1\leqslant i\leqslant n}\max(a_i-a_{i-1})$. 

    Edit : en fait je raconte peut-être n'importe quoi. Mais j'ai beau essayer dans tous les sens, je n'arrive pas à rédiger formellement l'ensemble, en prenant un $\alpha$ explicite et sans tricher en sous-entendant qu'il suffit de le prendre petit.
  • rakam
    rakam
    J'ai dit par choix de $\alpha$ : un $\alpha$ convenable s'obtient en ajoutant à ma dernière ligne $\leq\varepsilon$. La somme en facteur est une constante, la fonction $\varphi$ étant donnée.
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