La page Wikipedia est très mal formulée, mais ton message l'est encore plus, l'expression n'ayant pas de sens en $s=1$. L'égalité est a priori valable pour $\mathfrak{Re}(s) > 1$. De plus, l'expression de droite est une fonction holomorphe définie au moins pour $s \in \mathbb C \setminus \{1\}$ puisque la fonction $s \mapsto e^{-i\pi s}\Gamma(1-s)$ est holomorphe sur $\{s \in \mathbb C \mid \mathfrak{Re}(s) \leq 1, s \neq 1\}$, et on montre que l'intégrale est définie et holomorphe sur $\mathbb C$, à l'aide du théorème d'holomorphie sous le signe intégrale.
Le principe du prolongement analytique nous donne donc un prolongement holomorphe à $\mathbb C \setminus \{1\}$.
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