Opérations de base dans R
Bonjour à tous,
je fais un chapitre sur la construction des opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) dans les différents ensembles. Je suis un peu embêté en ce qui concerne la définition de ces opérations dans R ou plutôt sur l'ensemble des irrationnels.
Ma question est la suivante, ai-je des définitions simples (c'est relatif) pour un élève de troisième/seconde qui n'utilise pas la notion de limite.
Sinon, quelles définitions rigoureuses poser pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division ?
Je vous remercie par avance. Bien cordialement.
je fais un chapitre sur la construction des opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) dans les différents ensembles. Je suis un peu embêté en ce qui concerne la définition de ces opérations dans R ou plutôt sur l'ensemble des irrationnels.
Ma question est la suivante, ai-je des définitions simples (c'est relatif) pour un élève de troisième/seconde qui n'utilise pas la notion de limite.
Sinon, quelles définitions rigoureuses poser pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division ?
Je vous remercie par avance. Bien cordialement.
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Réponses
Tu as des définitions rigoureuses et simples pour un élève de troisième/seconde des entiers naturels, décimaux, rationnels, réels ?
Si tu définis R via simplement des décimales, alors l'addition c'est jouable, la multiplication c'est faisable mais vraiment pas simple... Mais en tout cas, ce qui est sûr c'est que la première question c'est: comment définis-tu R ?
Je ne donne pas directement de définition théorique de R si ce n'est qu'avec la diagonale d'un carré de côté 1 ou le périmètre d'un cercle de diamètre 1, on a découvert des nombres qui ne peuvent pas s'écrire comme le quotient de deux entiers. On utilise alors le symbole $\sqrt{2}$ ou encore la lettre $\pi$ pour les désigner. Toujours est-il que ces nombres ne font pas partie de $\mathbb{Q}$. Je dis alors que $\mathbb{R}$ est l'ensemble formé par $\mathbb{Q}$ et les irrationnels AKA (ceux qui ne s'écrivent pas comme un quotient d'entiers).
Je dis ensuite qu'un réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une partie décimale finie ou infinie...
J'ai commencé le doc que je joins. Je m'excuse par avance pour toutes les erreurs car il est en construction et certaines coquilles traînent sûrement. Il est aussi sans aucun doute critiquable sous bien des aspects du point de vue pédagogique.
Voilà en tout cas, ce qui me semble bien de dire (faute de mieux pour l'instant) concernant les ensembles de nombres précédents.
Là, j'en suis à comment poser une addition sur les réels qui ait du sens pour les élèves autre que je colle les deux réels $r_1$ et $r_2$ bout à bout sur la droite des réels à partir de $0$ et ça me donne $r_1+r_2$. Bien que ce soit dans le fond mais avec ce genre de définition, je me trouve bloqué pour "définir" la multiplication...
@G@gerard0 merci pour ta réponse. Il est vrai que je passe sous silence le fait que les sommes/produits restent dans l'ensemble des opérandes.
En revanche je ne suis pas sûr de comprendre la suite : $\sqrt{3} + \pi = \sqrt{3}+\pi$ parce qu'on ne donne une notation qu'à très peu d'irrationnels bien particuliers. Et puis avant la notation du résultat, que signifie "additionner deux nombres réels" ?
Mais comment justifier que $\sqrt{3}+\pi \approx 4{,}87364$ ? Sachant que l'expression décimale $4{,}87364$ a du sens pour eux qui est celui d'une quantité sur la droite des réels comprise entre $4$ et $5$ et plus proche de $5$.
Je ne sais pas si je m'exprime très bien...
Si tu prends un point de vue géométrique (vu ce que tu dis avec $\pi,\sqrt 2$) tu peux simplement dire que si un nombre réel (positif) est représenté par un segment, la somme de deux tels nombres réels est représentée par la mise côte-à-côte de deux segments; et la multiplication par l'aire du carré que blahblah, enfin tu sais. Pour les opérations qui impliquent des nombres négatifs, ça s'en déduit (plus ou moins)
Magnéthorax : comment ça, "sur le plan théorique" ? C'est pas du tout le cas, enfin à nouveau ça dépend de ta définition de $\mathbb R$, mais par exemple les coupures de Dedekind font naturellement apparaître $\mathbb R$ comme un ensemble ordonné, et rien de plus a priori. D'ailleurs, la multiplication n'est pas évidente à définir dessus (bon, ce n'est pas dur mais ce n'est pas évident).
oui, oui, j'en conviens. D'où la reformulation de ma question, quel sens donner aux opérations de bases à un élève dont l'assimilation des nombres réels repose sur une comparaison directe avec des nombres rationnels/décimaux : $\sqrt{2}\approx 1{,}4142$. Le nombre $\sqrt{2}$ est donc un nombre compris entre $1{,}4$ et $1{,}5$ ainsi intuitivement (je passe sous silence le fait que $\mathbb{R}$ est un ensemble ordonné) on a $2{,}4 < 1+\sqrt{2} < 2{,}5$
Encore faut-il que l'élève voit l'addition des deux nombres comme le fait de mettre bout à bout ces quantités sur la droite des réels à partir de $0$. Ce qui ,dit tel quel, n'est pas très beau.
Je pourrais vous demander aussi, sans se placer du point de vue d'un élève, comment définir les nombres réels ainsi que les opérations sur $\mathbb{R}$ ?
Je ne comprends pas :
"On ne peut pas traiter de cette question en troisième, on a rencontré quelques irrationnels, et on calcule comme d'habitude avec eux, sauf que généralement ça se simplifie mal ou pas du tout (normal, ce ne sont pas des fractions d'entiers). C'est le principal apprentissage à faire en troisième."
Quand je multiplie deux rationnels $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d}$, j'obtiens $\dfrac{ac}{bd}$. Je ne peux pas faire ça avec $r_1$ et $r_2$.
Mdr : "Serais-tu stagiaire en espe ? Dans ce cas vois ces questions avec ton tuteur, sinon tu vas te faire "descendre""
Tu m'as humilié lol. Sérieusement je ne le prends pas mal, pas de soucis. Ça fait 8 ans que "j'enseigne" (en disant des conneries par moment même si les élèves ne s'en rendent pas compte). Je ne suis qu'un modeste professeur certifié et suis bien conscient de mes énormes lacunes. D'où mes questions fréquentes sur ce forum (je remercie au passage toutes les personnes qui me répondent et m'aide à avancer).
L'ESPE ce n'est pas mon truc. Dans ma pseudo "formation" j'ai entendu beaucoup d'absurdités qui stérilisaient par anticipation la pose de mes questions.
Je te remercie sincèrement pour tes réponses et ta bienveillance car effectivement, je pourrais me faire descendre par les inspecteurs.
Pour reprendre la réponse de @Maxtimax et ce que tu me disais, je pourrais dire que c'est l'aire du rectangle de largeur $\sqrt{2}$ et de longueur $\pi$. Ça me semble pertinent comme réponse mais sur la pose de l'opération je ne sais quel algorithme lui donner s'il ne se sert pas de sa calculatrice.
C'est la meilleure manière de parler de limite sans introduire le mot "limite".
Magnéthorax: toujours pas d'accord.. $\mathbb N$ est aussi en premier lieu défini uniquement en termes de son ordre, les autres opérations sont définies après - enfin je ne connais pas de définition "raisonnable" qui ait les opérations comme "partie prenante" (enfin, si, mais pas de l'ordre d'idée dont on définirait ces choses). Quant à la définition par coupures, à nouveau tu peux définir les opérations via elle (sinon... :-D ) mais elles ne font clairement pas partie intégrante du truc. Honnêtement c'est un peu un miracle qu'on puisse définir la multiplication sur ce bidule (bon, pas du tout, mais tu vois ce que je veux dire)
Tu viens de me faire comprendre ce que Gerard0 m'expliquait plus haut sur l'enjeu principal du calcul avec les rationnels en 3ème.
Toutefois, ma question porte sur le concept des opérations plutôt que sur la notation du résultat. Il semble que l'on s'en remette à la compréhension intuitive de l'élève sur l'addition à savoir $r_1+r_2 = $ la longueur d'un bâton formé par deux autres de longueur $r_1$ et $r_2$ (s'ils sont positifs). Par contre le concept de la multiplication m'apparaît moins intuitif (peut être à tort) vu comme l'aire d'un rectangle de longueur $r_1$ et de largeur $r_2$.
@JLapin
ça ne marche pas comme avec des rationnels mais M'sieur, comment vous savez que ça fait $\approx 4{,}443$ ?
Parce que $\pi \approx 3{,}1415$ ; $\sqrt{2}\approx 1{,}4142$ et $3{,}1415 \times 1{,}4142 \approx 4{,}443$.
Après tout ce n'est pas si mal comme réponse.
@Maxtimax,
je n'avais pas vu ton dernier message mais effectivement (comme dit juste au-dessus), je m'en remets à ça faute de mieux pour l'instant.
Un grand merci en tout cas à tous ceux qui ont pris de leur temps pour m'éclairer même si tout n'est pas net dans ma tête. Je ne comprends pas toujours vos réponses du premier coup mais avec quelques jours du recul, ça m'aide vraiment.
soit $r_1$ et $r_2$ deux réels quelconques et deux suites $S_1(n)=\dfrac{E(r_1\times 10^n)}{10^n}$ et $S_2(n)=\dfrac{E(r_2\times 10^n)}{10^n}$.
Est-il concevable de définir l'addition/multiplication de $r_1$ et $r_2$ comme :
$r_1+r_2=\lim\limits_{n\to +\infty} (S_1(n)+S_2(n))$
$r_1\times r_2=\lim\limits_{n\to +\infty} (S_1(n)\times S_2(n))$ ?
je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas une définition et pourquoi ce serait un théorème ?
Je suis désolé mais je n'arrive toujours pas à comprendre.
Si je définis $r_1$ et $r_2$ comme les limites des suites $S_1$ et $S_2$, et $\mathbb{R}$ comme l'ensemble des limites des suites convergentes de rationnels. En même temps dit comme ça, y a un problème puisque ces suites ne convergent pas dans $\mathbb{Q}$...
Dit autrement : $\mathbb{R}$ comme l'ensemble des limites des suites de Cauchy rationnelles dont, passé un certain rang, la valeur absolue des termes de la suite sont majorés.
Pourquoi est-ce que ce ne serait pas une définition de l'addition sur $\mathbb{R}$ ?
En fait, je me sers de l'addition définie sur $\mathbb{Q}$ pour construire celle sur $\mathbb{R}$ non ?
Je m'excuse pour mes lacunes en analyse.
ça marche, je vais prendre le temps d'étudier le pdf en question.
En te remerciant. Bien cordialement.
Ce n'est pas la définition "officielle" (quoique... disons que ce n'est pas officiellement la définition officielle) mais elle lui est parfaitement équivalente, et ça peut être un jeu amusant de démontrer les propriétés de base de l'addition à partir de cette définition.
effectivement j'avais dit pas de limites au début. Au fur et à mesure des réponses de chacun, j'en suis revenu faut de mieux. Au-delà du nom (définition ou théorème), c'est ce que j'ai de mieux pour l'instant pour tenter d'expliquer à un élève comment calculer dans $\mathbb{R}$.
On fait de même avec $\boxed{\times}$…
Je passe sous silence les petits problèmes avec les écritures impropres des décimaux.
On n’échappe pas à l’utilisation des limites et on tombe sur des développements « nouveaux » (non périodiques, ceux des irrationnels). On n’échappe pas, j’imagine, à parler de suites de Cauchy…
C’est philosophiquement amusant car ça part de ce que vous évoquez (la construction du nombre réel par les élèves via les valeurs approchées - et en écriture décimale) et ça construit d’autres nombres avec leurs développements non périodiques aussi bien qu’on est en droit de se demander si on a bien obtenu tous les nombres possibles (n’existerait-il pas d’autres « nouveaux nombres » réels). On démontre que « c’est complet », donc qu’il n’y en a pas d’autres.