Question en rapport avec la loi des grands nombres

tolnus · December 2021

Bonjour,

j'ai une question en rapport avec la loi des grands nombres. Quand on jette une pièce de monnaie un très grand nombre de fois, on sait plus ou moins comment les occurrences pour pile et pour face vont se répartir statistiquement, mais en va-t-il de même en ce qui concerne la longueur des répétitions ?

GaBuZoMeu · December 2021

Bonjour

Pour préciser ta question, peut-on la formuler ainsi ?

Soit $X(n,k)$ le nombre d'occurrences de suites de $k$ piles (sans pile avant ni après) en $n$ lancers. Que peut-on dire de $X(n,k)/n$ quand $n$ tend vers l'infini ?

Aurais-tu une conjecture à ce sujet ?

tolnus · December 2021

Merci d'avoir reformulé ma question de manière matématiquement rigoureuse . Je présume qu'après un nombre assez important de lancers , on doit finir par observer une certaine proportionnalité entre les séries . Comme je n'ai plus fait de probabilités depuis le lycée , j'ignore comment le démontrer .

GaBuZoMeu · December 2021

N'aurais-tu pas une conjecture sur le comportement de $X(n,k)/n$ ?

lourrran · December 2021

Je lance plein des fois une pièce. Des millions de fois. Je regarde toutes les séquences où il y a au moins 20 Piles consécutifs.
Tiens, j'en tiens une, à partir du lancer n° 1234, il y a 20 Piles consécutifs.
Que se passe-t-il au 21ème lancer ?
Parmi toutes les séries qui ont au moins 20 Piles consécutifs, il y a la moitié de ces séries qui ont exactement 20 piles consécutifs, et l'autre moitié pour lesquelles le 21ème lancer a encore été Pile.

tolnus · December 2021

lourrran. Existe t-il une expérience permettant d'observer la vitesse de convergence des séries ?

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

lourrran · December 2021

Vitesse de convergence des séries ???

Donc la question en cours est supposée résolue, et tu passes à autre chose, c'est ça ?

GaBuZoMeu · December 2021

On suppose une suite infinie de tirages à pile ou face numérotés 1,2,...

Quelle est la probabilité que le tirage n° p>1 soit le premier pile d'une série de k piles, avec un face avant et un face après ?

P. · December 2021

Ces questions- sous la forme Gabuzomeu- sont detaillées dans le livre de W. Feller Tome 1 (An Introduction to Probability Theory and Its Applications), Wiley 1957 second edition. Voir le chapitre XIII, section 7. Voir en particulier la formule 7.7 pour $\lim_{n\to \infty}\frac{X{k,n}}{n}=2^{k+1}-2.$

GaBuZoMeu · December 2021

Hum, P.

Tu es sûr de ta formule ? Selon toi, plus $k$ est grand et plus il y a d'occurrences de suites de $k$ piles ?

gerard0 · December 2021

Et $X_{k,n}$ deviendrait plus grand que n ?

Cordialement.

P. · December 2021

Merci: j'ai donne la moyenne du temps d'attente et la bonne reponse est en effet l'inverse $1/(2^{k+1}-2).$

Lucas · December 2021

Bonsoir

On est tous un peu perdus je pense dans ce fil...

P. a dit :

la bonne reponse est en effet l'inverse $1/(2^{k+1}-2).$

Attends c'est la réponse à quelle question ? Parce que s'il s'agit de :

GaBuZoMeu a dit :

Quelle est la probabilité que le tirage n° p>1 soit le premier pile d'une série de k piles, avec un face avant et un face après ?

alors pour moi c'est juste la probabilité qu'aux tirages $p-1,p,p+1,\dots,p+k-1,p+k$ on observe $FPP\dots PF$, c'est-à-dire $1/2^{k+2}$.Bon, de toutes manières j'ai peur que le pauvre tolnus ne soit pas aidé par nos formules...

gerard0 · December 2021

Non, non, moi je ne suis pas perdu. $X_{n,k}$ est le $X(k,n)$ de GaBuZoMeu et P a parfaitement expliqué de quoi il parlait.

Cordialement.

GaBuZoMeu · December 2021

Notons $D(k,p,n)$ la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 si le tirage n°$p$ d'une suite de $n$ tirages à pile ou face est le premier d'une suite d'exactement $k$ piles.

Comme Lucas l'a écrit, $P(D(k,p,n)=1)=2^{-(k+2)}$ si $1<p\leq n-k$ et par ailleurs $P(D(k,1,n)=1)=P(D(k,n-k+1,n)=1)=2^{-(k+1)}$. Comme $X(k,n)= \sum_{p=1}^{n-k+1} D(k,p,n) $, on a $\mathbb E(X(k,n))=\dfrac{n-k+3}{2^{k+2}}$.

À $k$ fixé, la limite de $\mathbb E(X(k,n)/n)$ est $2^{-(k+2)}$.

Il me semble qu'on peut appliquer ici une version généralisée de la loi des grands nombres pour une dépendance faible des variables aléatoires : on a $D(k,p,n)$ et $D(k,q,n)$ indépendantes dès que $|p-q| > k$. On aurait alors une convergence (au moins en loi) vers $2^{-(k+2)}$. Je me trompe peut-être, je suis loin d'être un spécialiste.

GaBuZoMeu · December 2021

Je suis d'accord sur le temps d'attente donné par P. pour la première apparition d'une suite de $k$ piles dans une suite infinie de tirages. Ça se calcule facilement en écrivant les équation qui lient les $E_j$, temps d'attente sachant qu'on a déjà $j$ piles successifs. On a $E_k =0$ et $E_j=1+(E_0+E_{j+1})/2$ pour $0\leq j<k$. On en déduit facilement $E_0=2^{k+1}-2$. Mais inverser ça pour avoir la limite de $X(k,n)/n$ est erroné.

Par exemple, pour $k=2$, ce qu'annonce P. donnerait pour la fréquence des paires de piles : 1/6. Or une petite simulation montre que la fréquence des paires de piles n'est pas du tout cela, mais est bien proche de 1/16. Pour un million de tirages :

124713 piles isolés, 62467 paires de piles, 31335 suites de 3 piles, 15643 suites de 4, 
7739 suites de 5,3983 suites de 6, 1890 suites de 7, 1004 suites de 8, 472 suites de 9,
239 suites de 10, 137 suites de 11, 60 suites de 12, 41 suites de 13, 19 suites de 14,
6 suites de 15, 5 suites de 16, 4 suites de 17, 1 suite de 20

GaBuZoMeu · December 2021

Et pour une suite de cent millions de tirages :

suites de k=1 piles : 12497451, fréquence 0.12497, 1/2^(k+2)=0.12500
suites de k=2 piles : 6251306, fréquence 0.06251, 1/2^(k+2)=0.06250
suites de k=3 piles : 3124597, fréquence 0.03125, 1/2^(k+2)=0.03125
suites de k=4 piles : 1563765, fréquence 0.01564, 1/2^(k+2)=0.01562
suites de k=5 piles : 781667, fréquence 0.00782, 1/2^(k+2)=0.00781
suites de k=6 piles : 390452, fréquence 0.00390, 1/2^(k+2)=0.00391
suites de k=7 piles : 195806, fréquence 0.00196, 1/2^(k+2)=0.00195
suites de k=8 piles : 97727, fréquence 0.00098, 1/2^(k+2)=0.00098
suites de k=9 piles : 48725, fréquence 0.00049, 1/2^(k+2)=0.00049
suites de k=10 piles : 24691, fréquence 0.00025, 1/2^(k+2)=0.00024