Quadrilatère inscrit, triangle et somme de sinus

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Géométrie
Bonjour,
Soient le cercle trigonométrique de diamètre $AOB$ et le quadrilatère inscrit $ACBD$, de diagonales $AB$ et $CD$ ; on pose $\angle BOC = 2a, \angle BOD = 2b$.
Démontrer que $\sin {(a+b)} = \sin a \cos b + \sin b \cos a$.
Démontrer la même formule à l'aide d'un triangle $ABC$.
A+
Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)

Réponses

  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    C'était une configuration archiconnue autrefois.
    Aujourd'hui, c'est une autre musique!
    Le théorème de Ptolémée, qui s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose, a disparu depuis belle lurette!
    La trigonométrie est-elle seulement encore enseignée?
    Amicalement
    pappus


  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Essayons avec le triangle $ABC$
    $BC=2\sin(A)=2\sin(180°-B-C)=2\sin(B+C)$
    $AB=2\sin(C)$, $AC=2\sin(B)$
    $BA'=AB\cos(B)=2\sin(C)\cos(B)$
    $A'C=AC\cos(C)=2\sin(B)\cos(C)$
    Et finalement:
    $BC=BA'+A'C$
    Amicalement
    pappus



  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    Ces deux preuves sont plus simples que celle que l'on trouve (trouvait) en général dans les manuels.
    On peut, à mon avis, les caser dans une bonne classe de 3ème ou 2de.
    A+
    Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
  • Bouzar
    Bouzar
    Bonsoir


  • Bouzar
    Bouzar
    Modifié (January 2022)
    On a pour le sinus de la différence :

  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Modifié (January 2022)
    RE
    Il y a encore plus simple pour déterminer le sinus de la somme :
    $a = c \cos(B) + b \cos(C)$
    $\sin(A) = \sin(C) \cos(B) + \sin(B) \cos(C)$ (car les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés)
    $\sin(B+C) = \sin(C) \cos(B) + \sin(B) \cos(C)$
    J'espère que ce raisonnement n'est pas circulaire, car j'ai oublié comment on montre que le sinus du supplémentaire est égal au sinus de l'angle.
    A+
    Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    Réflexion faite, la démonstration me semble valable.
    Comme elle concerne les angles d'un triangle, il faut traiter le cas des autres angles ; ce n'est pas compliqué.
    A+
    Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
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