Un endomorphisme matriciel

Bonjour
Ma solution à cet exercice est-elle correcte ? Toujours tiré du cours de PSI*. 
a) $AM=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
 0 & 2 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & b \\
 c & d 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
 2c & 2d
\end{pmatrix} $ et $MA= \begin{pmatrix}
a & b \\
 c & d 
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
 0 & 2 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & 2b \\
 c & 2d
\end{pmatrix} $
Donc $\boxed{AM-MA=\begin{pmatrix}
0 & -b \\
 c & 0
\end{pmatrix}}$
b) Posons $f(M)=AM-MA$. On veut résoudre $f(M)= \lambda M$ soit $\begin{pmatrix}
0 & -b \\
 c & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda a & \lambda b \\
\lambda c & \lambda d
\end{pmatrix}$
Ce qui donne le système : 
$\lambda a =0$
$(\lambda+1) b=0$
$(\lambda -1) c=0$
$ \lambda d =0$

La troisième ligne du système impose trois cas : 

Si $\lambda=0$ alors $b=c=0$ et $M= \begin{pmatrix}
 a &  0 \\
 0 &  d
\end{pmatrix}$ donc $E_{0} (f)= Vect( E_{11},E_{22})$ c'est un plan vectoriel.

Soit $\lambda=1$ et donc $a=b=d=0$ et et $M= \begin{pmatrix}
 0 &  0 \\
 c &  0
\end{pmatrix}$ donc $E_{1} (f)= Vect( E_{21})$ c'est une droite vectorielle.

Soit $\lambda=-1$ et donc $a=c=d=0$ et et $M= \begin{pmatrix}
 0 &  b \\
 0 &  0
\end{pmatrix}$ donc $E_{-1} (f)= Vect( E_{12})$ c'est une droite vectorielle.

On remarque que $\dim (E_{0} (f)) + \dim E_{1} (f)+ \dim E_{-1} (f) = 4 = \dim M_2(\R)$