Nombres premiers

rafykfan
rafykfan
Modifié (December 2021) dans Arithmétique
Bonjour, 
Je n'arrive pas à comprendre cet exercice.
La somme A+B n'étant divisible par aucun des nombres premiers considérés jusqu'à p, elle est divisible alors par un premier strictement supérieur à p. Mais comment démontrer que cette somme vaut un nombre premier? J'ai essayé de raisonner par l'absurde en supposant (A+B) non premier, A+B=p'.q tel que p' au moins égal au nombre premier qui suit p dans la suite, le quotient q ne pouvant diviser (A+B) que s'il est premier et supérieur à p également... Bof je bloque... je n'arrive pas à démontrer que q=1 et donc que  (A+B) est un nombre premier...

Réponses

  • zeitnot
    zeitnot
    La somme A+B n'a pas de raison d'être un nombre premier.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • rafykfan
    rafykfan
    Merci zeitnot, mais comment démontrer que  A+B n'a pas de raison d'être un nombre premier? A la vérité j'ai essayé plusieurs fois par le calcul que c'est un nombre premier...mais bon ça ne prouve rien

  • zeitnot
    zeitnot
    Modifié (December 2021)
    Je prends les nombres premiers jusqu'à 11
    A=2 et B=3*5*7*11   A+B=13*89
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (December 2021)
    Je ne comprends pas cette phrase : "La somme A+B n'étant divisible par aucun des nombres premiers considérés jusqu'à p".
    Pour p=5 et A=2x3, on a A+B=2x3+2x3x5 est bien divisible par 2 et 3, je rate quoi ?
    Le 😄 Farceur


  • zeitnot
    zeitnot
    Prends un nombre premier qui divise A+B. Soit il est inférieur à p, soit il est plus grand, s'il est inférieur que se passe-t-il ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • rafykfan
    rafykfan
    Merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii zeitnot j'ai passé une journée à me casser la tête pour rien à essayer de démontrer par le crible d'Eratosthène que la somme est un nombre premier ... gracias infiniment
  • rafykfan
    rafykfan
    "Prends un nombre premier qui divise A+B. Soit il est inférieur à p, soit il est plus grand, s'il est inférieur que se passe-t-il ?"
    Si un nombre premier divise A+B il ne peut pas être inférieur à p car sinon il diviserait A ou bien B mais non les deux... A et B premiers entre eux???
  • rafykfan
    rafykfan
    Modifié (December 2021)
    gebrane a dit :
    Je ne comprends pas cette phrase La somme A+B n'étant divisible par aucun des nombres premiers considérés jusqu'à p
    Pour p=5 et A=2x3, on a A+B=2x3+2x3x5 est bien divisible par 2 et 3, je rate quoi ?
    A et B sont composés de premiers différents comme indiqué dans l'énoncé.
  • gebrane
    gebrane
    Merci
    Le 😄 Farceur


  • LEG
    LEG
    En définitive suivant l'énoncé sauf erreur : c'est simplement  le théorème d'Euclide sur l'infinité des nombres premiers , car si $A$ est le produit des nombres premiers $P\leqslant{A}$  et que $B$ est un produit de nombres premiers $P' > P$ alors il existe $P'$ tel que $P< P' \leqslant\sqrt{A+B}$ ou bien $A+B$ est un nombre premier $P'' > P$ le contraire supposerait qu'il n'y a pas une infinité de premiers... Non ou je me trompe...?
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