Réflexion sur le théorème des valeurs intermédiaires

Bonjour à tous, je me faisais une réflexion après avoir relu le théorème des valeurs intermédiaires. J'ai lu à de nombreuses reprises que les 2 énoncés suivants étaient équivalents (repris d'ailleurs dans l'article wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_valeurs_intermédiaires ) :

1) Pour toute fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $I$ et à valeurs réelles, l'image $f(I)$ est un intervalle
2) Pour toute application continue $f : [a,b] \mapsto \mathbb{R}$ et tout réel $u$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = u$.

J'ai l'impression que la 1) s'entend par elle-même, je veux dire par là que pour moi toute fonction continue sur un intervalle $I = [a,b]$ vérifie que $f(I) = f([a,b]) = \{ f(x)\mid x \in [a,b]\}$ est un intervalle ? Dans le sens où $f(I)$ n'est pas un intervalle si il y a un "trou" et donc intuitivement si $f$ n'est pas continue.
Par conséquent ça voudrait dire qu'être une fonction continue est équivalent au fait de vérifier le théorème des valeurs intermédiaires. Or c'est faux (le contre-exemple est donné sur l'article wikipédia d'ailleurs)
Où est-ce que je me trompe ?
Merci d'avance pour votre attention.