Différences finies

On fixe $x \in \mathbb{R}$ et $\varepsilon_0 > 0$. On se donne $f$ dérivable trois fois sur $I_x =] x - \varepsilon_0, x + \varepsilon_0 [$.

On suppose de plus que $f^{(3)}$ est lipschitzienne, de rapport $L$ sur $I_x$.

Montrer que pour tout $\varepsilon \in] 0, \varepsilon_0 [$, on a :

$$\left| \frac{f (x + \varepsilon) - f (x - \varepsilon)}{2 \varepsilon} - f'(x) - \frac{\varepsilon^2}{6} f^{(3)} (x) \right| \text{ } \leq \text{ }\frac{\varepsilon^3}{6} L. $$

   

Cela ressemble fortement à l'utilisation d'une formule de Taylor, mais rien ne semble fonctionner : Taylor-Young est trop imprécis, et Taylor-Lagrange ou reste intégral auraient besoin que la fonction soit au moins 4 fois dérivable pour pouvoir obtenir de l'ordre 3 dans le développement...
Si vous avez une idée, je suis preneur ! 

Merci d'avance,

Mystrall