Valeurs propres de uov et vou
Bonsoir
Un exercice trouvé sur un cours de PSI* et l'auteur ne donne pas de corrigé. Je suis donc livré à moi-même.a) Soit $\lambda \ne 0$ une valeur propre de $u \circ v$. Alors il existe $x \ne 0$ tel que $u \circ v(x)=\lambda x$.
Posons $y=v(x)$. Si $y=0$ alors $v(x)=0$ et donc $u(v(x))=u(0)=0= \lambda x$ ce qui est absurde car $\lambda \ne 0$ et $x \ne 0$.
Si c'est le cas alors $v \circ u(y)= v ( \lambda x)= \lambda v(x)= \lambda y$ donc $\lambda$ est aussi valeur propre de $v \circ u$.
b) Je n'ai pas compris ce que ça change que $\lambda=0$ ou pas.
c)Soit $P \in \R[X]$. $u \circ v(P)=P(X)$ donc $\ker(u \circ v) = \{0 \}$
$v \circ u(P)=P(X)-P(0)$ donc $\ker(v \circ u )= \{ P(0) \}$
d) Je ne vois pas.
Réponses
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Peux-tu faire une recherche sur le forum. Il y a peu de temps tu as posté un sujet sur les valeurs propres de uov et vou.Comme par ailleurs tu as posté récemment une question sur la densité des matrices diagonales, sujet que tu as déjà posé.Au minimum, quand on n'a pas de mémoire on tient un cahier avec tous les exercices déjà posés ainsi que les solutions.
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Plutôt qu'un cahier, un fichier dans lequel on peut faire une recherche automatique ?
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Il y a manifestement une erreur. C'est $y=v(x)$.Et alors $\lambda \neq 0$ est nécessaire. Cherche ...
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Désolé j'ai rajouté l'énoncé.
Gerard0 merci j'ai corrigé.
Bd2017 ce n'est pas le même exercice, je n'ai jamais posté cet exercice. D'ailleurs c'est un cours nouveau sur le net il y a écrit 2021-2022 sur le fichier.
Si $\lambda=0$ est valeur propre de $u \circ v$ alors il existe $x \ne 0$ tel que $u (v(x))=0$
Il faudrait trouver $z \ne 0$ tel que $v (u(z))=0$
Je ne vois pas comment procéder ni comment utiliser que $E$ est de dimension finie. -
S'il existe $x\neq 0$ tel que $u (v(x))=0$ alors ceci signifie que $\ker(u\circ v)\neq \{0\}$.
Que peut-on en déduire sur $\ker(v\circ u)$ ? Se pourrait-il par exemple que $\ker(v\circ u) = \{0\}$ ?
PS. au lieu de trouver un $z$ qui fait l'affaire, il faut se la jouer fainéant : montrer qu'un tel $z$ ne peut pas ne pas exister. -
On peut en déduire que $\dim \ker (v \circ u) \geq 1$ et donc $\ker(v \circ u) \ne \{0 \}$
Mais je ne comprends pas à quoi ça sert dans la question.
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L'argument 'c'est un cours de 2021-2022' me paraît un peu léger.
A mon avis, tous les étudiants de L1 , de prépa et autres depuis 50 ans ont tous fait cet exercice au moins une fois.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
En dimension finie, $\ker(v \circ u) \ne \{0 \}$ signifie que $v \circ u$ n'est pas bijectif.
Je dois montrer que si $v \circ u$ n'est pas bijectif alors $u \circ v$ n'est pas bijectif.
Par contraposée, cela revient à montrer que si $u \circ v$ est bijectif alors $v \circ u$ aussi.
En utilisant l'isomorphisme entre endomorphisme et matrice, si $A=Mat(u)$ et $B=Mat(v)$ alors si $u \circ v$ est bijectif on a $\det(AB) \ne 0$
Or $\det(AB)=\det(A) \det(B)= \det(BA)$ ce qui donne le résultat voulu.
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"L" 'isomorphisme entre endomorphisme et matrice, ouch.
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Je voulais dire
Si $E$ et $F$ sont deux $K$ espaces vectoriels de dimension finie $p$ et $n$ rapportés à des bases $e$ et $f$ alors l'application $\phi : L(E,F) \longrightarrow M_{np}(K) \\ u \mapsto Mat_{e,f} (u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Ici $E=F$ et $p=n$
Ma réponse à la question c) est-elle correcte ?
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Je ne comprends pas la question $d$.
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Pour le d), à la simple lecture de l'énoncé, sans même avoir résolu les questions précédentes tu devrais t'attendre à ce qu'il faut trouver.Typiquement, je n'ai pas fait l'exercice, mais dans le a) on me demande de démontrer quelle chose en dimension quelconque, dans le b) quelque chose en plus en dimension finie, le c) est clairement en dimension infinie et donc on s'attend à ce que dans le d) on conclut quant au fait que le résultat du b) est en général faux en dimension quelconque.Ça tombe bien, le c) parle de noyaux, ce qui est relié au fait que $0$ soit valeur propre, et donc le c) démontre très probablement que le résultat du b) est faux dans ce contexte. Tu peux certainement en déduire que dans le c) l'un des noyaux est réduit au vecteur nul, et pas l'autre ...
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@maths2
Merci !
En effet, $\R[X]$ n'est pas de dimension finie.
c) $\ker(u \circ v)= \{0 \}$ alors que $\ker( v \circ u) = \{ P(0) \}$. Si $P(X)=1+X$ alors $P(0)=1$ et donc $1 \in \ker( v \circ u)$
D'où $\ker(v \circ u) \ne \{0 \}$
d) En dimension infinie, on peut avoir $0$ valeur propre de $u \circ v$ mais pas valeur propre de $v \circ u$.
Très intéressant comme exercice je trouve. -
OShine, dans ce contexte particulier et souvent en général l'assertion mathématique $\ker v\circ u = \{P(0)\}$ n'a aucun sens !
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Souvent en général, ca fait beaucoup...[EDIT: grillé par raoul].
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Ce que je trouve également intéressant dans cet exercice (même si moi je donne un exemple "plus simple" à mes étudiants), c'est que $u\circ v$ est égale à l'identité et non $v\circ u$. Tu retrouves ainsi qu'un inverse à droite pour la composition des applications linéaires n'est pas nécessairement un inverse tout court en dimension quelconque, dire que $ u \circ v=id$ ne te donne que de la surjectivité sur l'une et de l'injectivité sur l'autre.
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Je corrige, $\ker(v \circ u) = \{ P \in \R[X] \mid P(X)=P(0)\}$, c'est l'ensemble des polynômes constants.
maths 2, je n'ai pas compris ta remarque avec $u \circ v= id$ alors que $v \circ u$ non. -
J'essaie de démontrer qu'en dimension finie $u \circ v= id \implies v \circ u= id$
Supposons que $u \circ v= id$ alors $\forall x \in E \ \ u (v(x)) =x$ donc $u$ est surjectif donc bijectif (dimension finie)
Donc $v(x)= u^{-1} (x)$ ce qui fournit immédiatement $v \circ u =id$
Quel exemple plus simple tu donnes à tes étudiants pour montrer qu'en dimension infinie ou peut avoir $v \circ u \ne id$ ?
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On peut regarder les suites de réels $R^N$, qui est un $R$ espace vectoriel de dimension infinie.
Avec $D$ l'endomorphisme "qui décale de un vers la droite", et $G$ l'endomorphisme "qui décale de un vers la gauche", i.e.
$D((u_0,u_1,\dots)) = (0, u_0,u_1,\dots)$
$G((u_0,u_1,u_2\dots)) = (u_1,u_2\dots)$
On a $G \circ D = id$, mais $D \circ G$ transforme $(u_0, u_1, \dots)$ en $(0, u_1, \dots)$, donc $D \circ G \ne id$.
Cela t'a aidé ? -
Je faisais mon petit tour de forum pour jauger l'esprit de Noël de ses membres et je suis ravi de voir que certaines choses ne changent jamais.
Ce que je note par-dessus tout est la mention de l'étoile dans "c'est un exercice de PSI*", comme pour se légitimer et dire que c'est dur après tout.
Pour le reste on est dans de l'usuel, bonnes fêtes à toi quand même OShine ! -
RLC merci.
Lavande oui merci.
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On peut noter que la dérivation envoie le polynôme (dont les coefficients sont) $(a_0,a_1,\dots)$ sur $(a_1,2a_2,3a_3,\dots)$ et "la primitive nulle en zéro l'envoie sur $(0,a_0,a_1/2,a_2/3,\dots)$. C'est pratiquement le même exemple que Lavande.
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@ Lavande, oui c'est l'exemple que je donne à mes étudiants.
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Math Coss merci.
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