Sommes de produits de combinaisons uniques
Bonjour.
Je cherche une généralisation.
$c_{(b)}$ est une suite quelconque.
Pour exemple et par facilité prenons $c_{(b)}$ la suite des entiers naturels.
La première formule additionne une seule combinaison facile pour commencer.
La deuxième la somme de la combinaison de deux nombres distincts multipliés par eux-mêmes.
Exemple pour a=4 on a.
$2\times1+3\times1+3\times2+4\times1+4\times2+4\times3=\frac{(1+2+3+4)^2−(1^2+2^2+3^2+4^2)}{2}$
Un autre exemple avec une combinaison de trois nombres distinct.
a=4
$3\times2\times1+4\times2\times1+4\times3\times1+4\times3\times2=\frac{(\frac{10^2−(1^2+2^2+3^2+4^2)}{2}10−10(1^2+2^2+3^2+4^2)+(1^3+2^3+3^3+4^3)}{3}$
Ça fonctionne pour une série finie divergente ou infinie convergente aussi.
$$\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}\\\frac{(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)})^2-\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}^2}{2}\\\frac{\frac{((\sum_{b=1}^{a}c_{(b)})^2-(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}^2))}{2}\times(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)})-(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)})\times(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}^2)+(\sum_{b=1}^{a}c_{(b)}^3)}{3}.$$
Réponses
Ha oui 4 parmi 6.
Dessolé je connais pas le vocabulaire.
4x3x2x1+5x3x2x1+5x4x2x1+5x4x3x1+5x4x3x2+6x3x2x1+6x4x2x1+6x4x3x1+6x4x3x2+6x5x2x1+6x5x3x1+6x5x3x2+x6x5x4x2+6x5x4x3
Par exemple et surtout en général.
Avec quelques conditions tout de même.
Que toutes les bornes supérieures et inférieures des sommes arithmétiques aient le même indice.
C'est donc du coté des fonctions symétriques que je dois chercher? https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_fondamental_des_fonctions_symétriques