Consistance et intuitionnisme
Bonjour,
dans mon dictionnaire des mathématiques de Bouvier et al., à la rubrique "intuitionnisme", j'ai eu la surprise de lire ceci :
" [...] Cependant, A. Kolomogorov et K. Gödel ont démontré que la consistance de l'arithmétique intuitionniste est équivalente à celle de l'arithmétique classique".
Connaissez-vous cette démonstration et pouvez-vous me dire où je puis la trouver ?
J'imagine qu'elle est rédigée dans la logique intuitionniste. Si tel est le cas, soit l'arithmétique intuitionniste est cohérente et le théorème montre que la classique l'est aussi, soit elle ne l'est pas, et la classique non plus, puisque plus forte.
(Si elle était rédigée en logique classique, l'arithmétique classique pourrait être contradictoire sans que l'intuitionniste le soit).
Cela m'inspire une seconde question. Bien que cela soit extrêmement improbable, l'arithmétique classique pourrait être contradictoire. Ce théorème signifie-t-il alors que le risque que l'intuitionniste le soit aussi n'est pas moindre ?
Cela me semble étrange.
dans mon dictionnaire des mathématiques de Bouvier et al., à la rubrique "intuitionnisme", j'ai eu la surprise de lire ceci :
" [...] Cependant, A. Kolomogorov et K. Gödel ont démontré que la consistance de l'arithmétique intuitionniste est équivalente à celle de l'arithmétique classique".
Connaissez-vous cette démonstration et pouvez-vous me dire où je puis la trouver ?
J'imagine qu'elle est rédigée dans la logique intuitionniste. Si tel est le cas, soit l'arithmétique intuitionniste est cohérente et le théorème montre que la classique l'est aussi, soit elle ne l'est pas, et la classique non plus, puisque plus forte.
(Si elle était rédigée en logique classique, l'arithmétique classique pourrait être contradictoire sans que l'intuitionniste le soit).
Cela m'inspire une seconde question. Bien que cela soit extrêmement improbable, l'arithmétique classique pourrait être contradictoire. Ce théorème signifie-t-il alors que le risque que l'intuitionniste le soit aussi n'est pas moindre ?
Cela me semble étrange.
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Réponses
Vous pouvez regarder la"non-non traduction" de Gödel
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
L'intuitionniste ENRICHIT la classique en ajoutant "il existe" et "ou" qui ne sont pas gérables intuitionnistiquement comme équivalents à des abréviations faites à partir des autres alors que classiquement si si.
En résumé, en exagérant à peine on pourrait surtout plus craindre une contradiction de l'intuitionniste que de la classique (vue de l'esprit) sauf qu'effectivement, cet enrichissement est prouvablement inoffensif de ce point de vue.
Mais la classique in fine est INCLUSE dans l'intuitioniste si on restreint le langage. Ce n'est pas la vision habituelle certes, mais je répondais à TA DEUXIEME question de façon SPÉCIFIQUE.