À propos du théorème de Sturm

RE
Je viens de trouver un exemple sur l'équation cubique réduite.
L'équation aux carrés des différences associée à $x^3 + px + q = 0 \ (1)$ est $x^3 + 6px^2 + 9q^2x + 4p^3 + 27q^2 = 0 \ (2)$.
Si $(1)$ a deux racines complexes conjuguées, alors $(2)$ a deux racines complexes conjuguées et une racine réelle négative ; si $(1)$ a trois racines réelles distinctes, alors $(2)$ a trois racines réelles strictement positives.
Autrement dit, les racines de $(1)$ sont réelles si et seulement si $(2)$ n'a pas de racine réelle négative, donc si et seulement si  $4p^3 + 27q^2 \le 0$.
A+