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Un théorème de Zermelo

Modifié (December 2021) dans Fondements et Logique
Bonjour à tous,
Hier j'ai assisté à la Sorbonne à une conférence de Paolo Mancosu, professeur à l'Université de Berkeley, sur le thème : "Histoire et philosophie de l'infini mathématique". Vers la fin il a cité très rapidement un théorème de Zermelo que j'ai noté à l'arrache. (A vrai dire je n'ai pas eu le temps de comprendre si c'était un théorème ou une sorte de principe). Bref, voici l'énoncé.
$$\forall X \forall f : \mathscr P(X) \to X, \exists A,B \in \mathscr P(X), A \subsetneqq B \text{ et } f(A)=f(B).$$
Je n'avais jamais entendu parler de ce "théorème", et je n'ai aucune idée de la façon dont ça peut bien se démontrer. En plus l'histoire ne dit pas si l'axiome du choix a un rôle quelconque à jouer dans cette affaire.
Si quelqu'un a une idée...

Réponses

  • Modifié (December 2021)
    Bonjour.
    Ce théorème dit simplement qu'une application de P(X) dans X n'est jamais injective. Donc le cardinal de P(X) est strictement supérieur à celui de X, puisqu'il y a une injection canonique de X dans P(X).
    La preuve se trouve partout dans les documents de' base de la théorie des ensembles.
    Cordialement.
  • Modifié (December 2021)
    Ce théorème semble dire un petit peu plus que ça.

    S'il avait simplement voulu dire qu'il n'y a pas d'application de P(X) dans X injective, il aurait simplement écrit A différent de B.
    Or il a dit A différent de B et A inclus dans B.
  • Modifié (December 2021)
    Effectivement, j'ai lu un peu vite.
    Et j'ai confondu les noms, si j'avais lu Martial comme auteur de la question, j'aurais regardé de plus près.
    Cordialement.
  • @gerard0 : oui, je connais depuis 1976 le théorème qui dit que $Card(\mathscr P(X)) > Card(X)$...
    Mais lourran a raison : le théorème que je cite plus haut (si tant est qu'il soit vrai) est beaucoup plus fort.
  • Modifié (December 2021)
    Je l'ai connu dix ans plus tôt, mais je me suis tourné vers d'autres parties des maths, ce qui fait que je ne saurais comment l'attaquer.
    Cordialement.
  • Bonjour,
    Si on peut montrer que $(\mathscr{P}(X),\subset)$ possède une partie totalement ordonnée de cardinal $>\mathrm{card}(X)$, alors c'est bon. Mais je ne sais pas si c'est vrai pour tout $X$. Je sais juste que c'est vrai pour $X$ dénombrable.
  • 2 choses : 
    - Je n'y ai pas réfléchi assez et en particulier n'ai pas de preuve, mais je dirais que ça doit se prouver sans AC, avec une "christopherie" du type $\{x \mid f(x)\notin x\}$ ou que-sais-je

    - Dans le cas de $X= \mathbb N$, on peut montrer le résultat plus fort que $P(\mathbb N)$ a des chaînes de cardinal $2^{\aleph_0}$; mais la preuve que je connais utilise $\mathbb R$ donc je ne sais pas dans quelle mesure c'est vrai pour tout cardinal $\lambda$ (si c'est vrai, cela suffirait évidemment modulo AC). Mais ça parait être une question pas évidente : https://mathoverflow.net/questions/122031/totally-ordered-chain-in-the-powerset-with-big-cardinality
  • Modifié (December 2021)
    $\def\card{\mathrm{card}}$Voici une tentative de preuve à compléter de l'énoncé dont je parlais.

    Cas 0 (à part) : On suppose $X$ fini, de cardinal $n$. Mettons $X=\{1,\dots,n\}$. Alors $C = \{\varnothing,\{1\},\{1,2\},\dots,\{1,\dots,n-1\},X\}$ est une partie totalement ordonnée de $\mathscr{P}(X)$ de cardinal $n+1$.

    Cas 1 : On suppose $X$ dénombrable infini. Mettons $X=\Bbb Q$. Alors $C = \{]-\infty,x]\cap\Bbb Q \mid x\in \Bbb R\}$ est une partie totalement ordonnée de $\mathscr{P}(\Bbb Q)$ qui est indénombrable.

    Cas général : J'essaie de m'inspirer du cas 1. On prend $\alpha$ un ordinal et on pose $Y = X^{(\alpha)}$ l'ensembles des fonctions $\alpha\to X$ à domaine borné dans $\alpha$, et $Z=X^\alpha$. Les candidats pour $\alpha$ sont $\omega$ et $\mathrm{card}(X)$. Mais on veut que $\mathrm{card}(X) = \mathrm{card}(Y) < \mathrm{card}(Z)$ (mais je connais mal l'exponentiation sur les cardinaux, donc ça me bloque ici). On se donne un ordre total quelconque sur $X$ et on munit $Y$ et $Z$ des ordres lexicographiques induits. Alors $(Y,<)$ s'injecte dans $(Z,<)$. Et on pose $C = \{\{y\in Y\mid y\leqslant z\} \mid z\in Z\} \subset \mathscr{P}(Y)$. Alors $E$ est une partie totalement ordonnée de $\mathscr{P}(Y)$. Si je n'ai pas raconté n'importe quoi.

    Edit : Je n'avais pas vu le message de Max.
  • Modifié (December 2021)
    @gerard0. Nos posts se sont croisés. J'avoue que j'étais un peu surpris par le ton de ton premier message. Mais n'en parlons plus.
    @lourran, Calli, Maxtimax. Merci pour vos réponses rapides et éclairantes. En particulier la "christopherie" évoquée par Max me tente bien.
  • Modifié (December 2021)
    Tout d'abord, pardon de ne plus venir depuis août. Je suis en phase d'incubation personnelle, ainsi que de désaddiction :-D (on va voir si les smileys marchent encore, j'ai fait un code). 

    @Martial: c'est un cas particulier d'une version renforcée de ce que j'appelle souvent le lemme de l'étoile. C'est un de mes théorèmes "qui ne sert rien" mais que j'aime bien produire. Il est en premières pages de ma thèse avec les preuves, et même le lemme de l'étoile seul est équivalent à AC. 
    Voici une version : soit $E$ un ensemble, $a$ un ordinal et L une application de $(E\to a)$ dans $E$.
    Alors il existe : $ \quad i\mapsto f_i,\ $ allant de $a$ dans $(E\to a)$ et $e\in E$
    tels que pour tout $(i,j)$ : 
    (1) et (2) et (3), avec : 
    (1) = $[L(f_i)=e]$
    (2) = $[f_i(e)=i]$
    (3) = $[i\leq j \Rightarrow (\forall x\in E: f_i(x)\leq f_j(x)])$
    Ce que j'appelle "lemme de l'étoile" est la version sans le (3). 

    La preuve est juste que tu construis par récurrence ordinale $f_\alpha(x)$ comme étant le plus petit $i\in a$ tel que pour tout $\beta<\alpha$, si $f_\beta(x)=i$ alors $L(f_\beta)\neq x$.
    Tu as gagné quand tu arrives au stade où tu ne peux définir $f_\alpha$ sur $E$ tout entier.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Modifié (December 2021)
    Je viens de découvrir avec effroi que ma photo de profil semble avoir été un mail privé (heureusement sans signification car coupé), mais ça m'a terrifié. Je ne vois pas comment ça pourrait être moi qui l'avait mise, alors que la précédente montrait une pseudo beaugosse (qui était moi :-D , bon, je ne suis pas sérieux sur le bogosse of course)

    Alors que emmêlé dans mes téléphones, j'ai merdé, est-ce qu'il y a eu un piratage :-X :-X, en tout cas, je viens de la rechanger en urgence avec la première qui m'est tombée sous la main (un incendie de forêt dans le sud). 

    Quoiqu'il en soit à l'avenir si des photos "pas normales" apparaissent, j'autorise tout modérateur à supprimer. Pardon pour le dérangement

    C'est un truc de dingue n'empêche. Y a-t-il possibilité de me dire quel jour à quelle heure un telle photo aurait été mise? (Même en m'emmêlant dans les copies d'écran et tout et tout, je ne vois pas comment ça aurait pu atterrir comme ça.
    Bonne continuation à tous.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bon j'ai mis une photo moins sinistre que l'incendie, mais ça m'a paru compliqué, bref. L'avatar que j'ai mis est le résultat de l'application de l'appli faceapp à une de mes photos de moi à 56ans. J'ai cliqué sur "ado" et l'algo m'a rajeuni. J'ai fait de nombreuses recherches sur google pour trouver des logiciels pour pc qui font ça à coup d'IA et il n'y en a pas. C'est étrange par contre, j'ai fait plein de tests et l'algo a l'air de marcher "potablement bien" sur plein de photos différentes. Ca m'inspire que ce domaine de maths devrait être réglementé sévèrement, car apparemment le "machine learning" semble puissant et l'avenir pourrait bien s'annoncer comme le scénario de Terminator. (Pardon Martial pour ce HS, bisous)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonsoir
    Voir le corolaire 3 du document ci-joint.
    10.pdf 17.1M
  • Modifié (December 2021)
    Salut Christophe,
    Content de te revoir sur le forum après la migration.
    Merci pour tes indications. J'avais lu dans ta thèse le lemme de l'étoile mais je n'avais pas saisi le rapport avec le th de Zermelo ci-dessus.
    Par contre je ne comprends rien à cette histoire d'avatar, ça doit être un TDO*.
    Je t'appelle un de ces 4 pour prendre des nouvelles plus sérieuses.
    Bisous
    Martial
    * TDO = Truc De Ouf.
  • Merci, Titi.
  • Salut CC,

    pour info ton activité est enregistrée (je parle de celle du forum...  o:)) ICI.

    Le 21 novembre tu as modifié ta photo de profil deux fois, avec le mail privé la deuxième fois.
  • @Thierry Poma : La démonstration donnée dans ton lien me semble très chouette :) !
  • @Martial : en fait le même que j'ai mis ci dessus s'applique avec l'ordinal 2 pour donner ton lemme Zermelo

    @Raoul : grand merci. J'ai écrit à un modérateur pour demander s'ils voient l'IP. J'avais fini hier par trouver ce que tu indiques ci dessus. Il me paraît possible que j'ai fait une erreur de manip (genre le téléphone sonne au moment où je m'aperçois de l'erreur et j'oublie ensuite) mais ça me paraît inouï quand-même, mais bon, je ne vais pas faire des nuits blanches pour ça. 

    @tous: le calque de la preuve que j'ai donnée pour de Zermelo ci dessus s'énonce comme suit en français : 

    Tu ajoutes à chaque fois w:= f(X:= l'ensemble déjà obtenu)

    Tu gagnes quand tu tombés sur w dans X. 
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Christophe : Je t'ai envoyé un MP, peut-être qu'avec le nouveau forum, tes bugs auront disparu :smiley:
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