Calcul diff plusieurs variables

Bonjour,

Je commence à regarder le livre "récent" d'Yvonne Choquet-Bruhat "Introduction to General Relativity, Black Holes and Cosmology"

et sur le premier exercice, je suis perturbé par l'indication qui est donnée car celle-ci me paraît fausse selon la manière dont je l'interprête ...


Pour moi, puisque, $ff^{-1}=id$, la dérivée par rapport à $x_i$ n'est autre que le vecteur $(0,0,...,1,...,0)$ où le $1$ est à la i-ème place ...

Merci de bien vouloir m'éclairer car je ne vois pas comment interpréter cette égalité de manière à la rendre correcte ...