Exercice statistiques inférentielle
J'ai un devoir à rendre qui me donne du fil à retordre...
Voici l'énoncé.
Soit X une variable aléatoire dont la loi est donnée par
P(X =1)=P(X =−1)=pX et P(X =0)=1−2pX pour un certain réel (inconnu) pX ∈ ]0;1[. On dispose d’un EASn(X) dont on veut se servir pour estimer pX.
(a) Xn est-il un bon estimateur de pX ?
(b) Peut-on trouver un estimateur sans biais de pX de la forme a + bXn ?
(c) Calculez V(X). À partir de ce résultat, proposez un estimateur sans biais de pX.
(d) Calculez la variance de cet estimateur. Cet estimateur est-il convergent ?
(e) Vérifiez que pour tout x ∈ {−1,0,1} on a :
P(X = x) = p^|x|(1 − 2p )^1−|x|(f) On rappelle que pour un échantillon donnée (x1,...,xn),la vraisemblance associée à cet échantillon est la fonction Ln définie par L n : ]0;1[ −→ ]0;1[, p → Ln(p) = Pp(X1 = x1,...,Xn = xn)
(i) Montrez que l’estimateur du maximum de vraisemblance de p est P chapeau = (somme des Xi)/2n 2n
(ii) En remarquant que |Xi| = Xi^2 pour tout i = 1,...,n, que pouvez-vous dire ?
J'ai fait les 2 premières questions, je trouve pour la (a) que E(X)=E(Xn)=0 par conséquent Xn est biaisée ce n'est pas un bon estimateur. Pour la (b) j'ai calculé l'espérance de a+bXn je trouve E(a+bXn)=a donc si a est différent de px alors il n'est pas possible de trouver des coefficients a et b qui formeraient un estimateur de px.
Pour la suite je n'arrive pas à avancer, je ne parviens pas à trouver l'espérance ...
Merci d'avance.
Réponses
Et bien en utilisant la formule que je connais depuis le lycée j'obtiens V(X)=2px ... mais je ne suis pas totalement sûre de moi et je ne sais pas déduire de ça un estimateur de px.
En réalité, le contraste entre la difficulté du cours et ces premières questions est important et cela me semblait trop simple de procéder de cette manière.
Auriez-vous une indication à me donner pour me débloquer et que je puisse avancer ?
Tu as forcément dans ton cours un estimateur sans biais de la variance $V(X)$, duquel tu déduis immédiatement un estimateur sans biais de $p_X$.
Cordialement,
Merci pour votre réponse.
Effectivement j'imagine qu'il faut utiliser la variance empirique :
Mais comment déduire de ça un estimateur pour px ?
Je dois diviser ça par 2 pour avoir mon estimateur de px c'est bien ça ?
Merci.
J'ai juste une dernière petite question, pour la (e) est-ce que je peux simplement remplacer x par 1,-1 et 0 et montrer que cela donne bien ce qu'il y a dans l'énoncé ? ou alors il s'agit d'une démonstration plus complexe que ça ?
Cependant il me reste 1 ou 2 questions sur lesquelles je bloque.
Je n'arrive pas a montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de p est P^ = (somme des Xi)/2n
Auriez-vous une indication à me donner ?
Merci.
Merci.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
J'ai une question concernant un exercice de statistiques.
Je viens de démontrer dans un exercice que la variance empirique divisée par deux ((Sn^2)/2) était un estimateur sans biais de px.
Je dois à présent calculer la variance de cet estimateur, dans mon cours nous avons admis que : 1
Est-ce que j'ai le droit de dire en m'appuyant sur ce résultat que la variance de mon estimateur (variance empirique/2) vaut la même chose que la variance de la variance empirique mais le tout divisé par 2 ?
Merci.
J'ai une dernière question svp , pour celle-ci "(ii) En remarquant que |Xi| = Xi^2 pour tout i = 1,...,n, que pouvez-vous dire ?"
Je n'ai absolument aucune idée de quoi faire/dire , auriez-vous une indication à me donner ?
Merci.