Écriture correcte ?

Endomorphisme · December 2021

Bonjour,

Au niveau de la syntaxe, est-il correcte d'écrire par exemple : $\forall n\in \mathbb{N}^{*},\ \forall p\in [|1,\ldots,n|],\ p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}$ ?
C'est par rapport à la lettre $n$ qui vient après. Parce que, bien que les deux quantificateurs sont de même type (universel), il semble impossible de les inverser.
Cela revient-il au même d'écrire : $\forall n\in \mathbb{N}^{*},\ \forall p\in \mathbb{N}^{*},\ p\leqslant n\ \Rightarrow\ p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}$.

gerard0 · December 2021

Bonjour.

Je recopie : $\forall n\in \mathbb{N}^{*},\ \forall p\in [|1,\ldots,n|],\ k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$

est incorrect, la lettre $k$ n'est pas quantifiée

Et il est impossible d'inverser cette écriture parce que $p=k$ est défini à partir de la valeur de $n$. C'est tout !

Cordialement.

gerard0 · December 2021

Pour ta deuxième question, $\forall p\in A, P(p)$ est une abréviation pour $\forall p,\ p\in A\Rightarrow P(p)$

Endomorphisme · December 2021

Oups, non je voulais écrire : $\forall n\in \mathbb{N}^{*},\ \forall p\in [|1,\ldots,n|],\ p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}$
Merci gerard0. Voilà, c'est ce que je voulais surtout faire remarquer. Dans la deuxième assertion, les deux quantificateurs peuvent être cette fois-ci inversés

Chaurien · December 2021

Notre camarade Endomorphisme a écrit $k$ à la place de $p$, ça arrive à tout le monde. Il veut dire sans doute :

$\forall n\in \mathbb{N}^{*},\ \forall p\in [|1,\ldots,n|],\ p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}$, ou : $\forall n\in \mathbb{N}^{*},\ \forall p\in \mathbb{N}^{*},\ p\leqslant n\ \Rightarrow\ p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}$.

Pour le peu de logique que je sais, ces deux énoncés me semblent corrects.

Dans le premier énoncé, il est vrai que l'on ne peut intervertir les quantificateurs, bien qu'ils soient tous deux universels, mais ils sont restreints, et le second est restreint en fonction de la variable introduite par le premier, alors il n'est pas choquant qu'on ne puisse les intervertir.

Dans le second énoncé, on peut intervertir ces quantificateurs.

Une remarque. Depuis des années, je me tue à faire la remarque suivante, mais vox clamantis in deserto. Pour $n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$, on désigne par $\binom {n}{p}$ le nombres de $p$-parties d'un $n$-ensemble. Si $p>n$, il n'y a pas de telles parties, et quand il n'y a pas de quelque chose c'est qu'il y en a $0$. En sorte que si $n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$ et $p>n$, alors $\binom{n}{p}$ existe, et $\binom{n}{p}=0$. Et ce n'est pas une « convention » arbitraire, c'est une vérité d'évidence.

Ainsi, le symbole $\binom{n}{p}$ est défini pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $p \in \mathbb{N}$. Le triangle de Pascal est un tableau carré dont une moitié environ des cases contient $0$.

Avec cette simple observation, notre camarade Endomorphisme peut écrire tranquillement : $\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall p\in \mathbb{N}^*,\ p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}$, et intervertir les quantificateurs à sa guise.

J'ajoute une remarque sur la remarque. La formule de convolution de Vandermonde dit que : $\displaystyle \sum_{k=0}^{p} \binom{m}{k} \binom{n}{p-k}=\binom{m+n}{p}$. Si vous estimez que $\binom{n}{p}$ n'est défini que pour $n \ge p$, je vous laisse écrire les conditions de définition de cette formule, c'est plutôt pénible. Mais si l'on applique la remarque ci-dessus, on voit que la formule est définie (et vraie !) pour tout $m \in \mathbb{N}$, tout $n \in \mathbb{N}$, tout $p \in \mathbb{N}$.

Bonne journée.

Fr. Ch.

17/12/2021

Endomorphisme · December 2021

Oui Chaurien, j'ai fait les modifications !
Je vois tellement le "k" et le "p" dans les livres que j'ai fait la confusion. Et tu l'as bien remarqué !

Foys · December 2021

Pour tous énoncés $E,F$, "$\forall x\in E, F$" abrège $\forall x (x\in E \Rightarrow F)$.

$\forall n\in \mathbb{N}^{*},\ \forall p\in [|1,\ldots,n|],\ p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}$ est donc une abréviation de

$$\forall n\left (n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \left (\forall p \left (p \in [|1,\ldots,n|] \Rightarrow \ p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}\right)\right)\right). $$

Endomorphisme · December 2021

Merci Foys, c'est lourd comme écriture dis donc

Merci Chaurien de tes précisions ! En effet, la formule de Vandermonde est pénible à quantifier.... Et les extensions des définitions permettent de s'en passer. Mais revers de la médaille, il faut dans les démonstrations traiter tous les cas.