Équation des sinus/cosinus/etc.

Bonjour
Je ne suis pas certain de très bien comprendre.
À titre d'exemple, je dois me tromper mais j'avoue avoir du mal à trouver un "trouple" rationnel $(p, q, r)$ tel que $\sin(\frac{\pi}{5})$ soit solution d'un polynôme unitaire de degré trois (peut-être car ça n'existe tout simplement pas, gné, étant donné que le polynôme minimal est de degré quatre (???)). 
En soi, j'ai du mal à interpréter ton assertion : tu parles de "sinus des angles d'un triangle", alors pourquoi préciser que ce serait pour un triangle si il ne semble apparaître nulle part une condition liée au fait que la somme des angles d'un triangle vaille $\pi$ par exemple (peut-être juste que la condition est cachée dans des relations entre $p$, $q$ et $r$ mais ça m'étonnerait) ? (Enfin, on n'a qu'une équation et pas trois liées par la condition sur la somme des angles ou que sais-je.) Peut-être que triangle ici sous-entend juste "trigonométrie", je ne sais pas. 

Dis moi si je me trompe et où.
Si je ne suis pas totalement à côté de la plaque, j'ai quelques idées (pour le cas où les coefficients seraient rationnels).

PS: Désolé pour l'utilisation de "trouple", c'est la première chose qui m'est venue en tête.

Bonjour
Pour cosinus, je pars de $\displaystyle x^3+p x^2+ q x + r = 0$, je multiplie par $x$, puis j'élimine le $x^3$ selon ce polynôme, et pour exprimer $x$ selon $x^2$, j'écris $\displaystyle x = -{r+p x^2 \over q+x^2}.$ J'ai alors une expression qui ne dépend que de puissances paires en $x.$ J'écris alors $x^2 = 1- y^2$ puisque $\displaystyle \cos^2 z + \sin^2 z=1$ et le polynôme en $y$ est vérifié par les cosinus : $\displaystyle y^6 + (p^2-2 q-3)y^4 + (q^2+4q+3-2p^2-2pr) y^2 + (p+r)^2-(q+1)^2 = 0.$

Bonjour,

C'est faux puisque tu ne connais pas le signe de $x.$

GaBuZoMeu a dit :

Une question qui se pose naturellement : décrire l'ensemble des $(p,q,r)\in \R^3$ tels que les racines de $x^3+px^2+qx+r$ soient les sinus des trois angles d'un triangle.

Si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, une condition nécessaire est que $p^4-4p^2q+8pr+4r^2 = 0$.

Des encadrements pour $p$, $q$ et $r$ peuvent être obtenus en considérant le triangle équilatéral et le triangle aplati : 
$$-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \leq p \leq 0,\qquad 0 \leq q \leq \frac{9}{4}\quad\text{et}\quad -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \leq r \leq 0.$$ Mais cela n'est toujours pas suffisant. 
En ajoutant la condition pour que l'équation ait trois racines réelles cela devrait suffire : 
$$p^{2} \; q^{2} - 4 \; p^{3} \; r - 4 \; q^{3} + 18 \; p \; q \; r - 27 \; r^{2} > 0.$$

D'accord avec ce triangle curviligne dans le plan $(p,r)$. On peut regarder à quoi correspondent les bords et les sommets de ce triangle curviligne (Ludwig a déjà partiellement vendu la mèche).

Cette parabole a pour équation $x \; \left(2 \; \operatorname{sin} \left( \alpha \right) + x \right) + 2 \cdot \frac{y}{\operatorname{tan} \left( \frac{1}{2} \; \alpha \right)} = 0$, que l'on peut utiliser pour déterminer les angles correspondants au point $(p,r)$. Il suffit en effet de résoudre numériquement $p \; \left(2 \; \operatorname{sin} \left( t \right) + p \right) + 2 \cdot \frac{r}{\operatorname{tan} \left( \frac{1}{2} \; t \right)} = 0$, cela est plus efficace et pose moins de problèmes que de résoudre une équation polynomiale de degré trois.
Un bon dimanche !
Ludwig