Interpolation de la dérivée préservant l’intégrale

Je veux bien, mais il faut préciser quelles valeurs tu donnes à $\hat f$ en quels points. Car on ne connait aucune valeur de $f$, donc on ne dispose pas naturellement de points $(x,f(x))$ à relier.

Merci pour vos réponses. 

marsup a dit :

En quel sens souhaites-tu "approcher $f$" ? Sans précision, tu demandes n'importe quelle fonction dans un sous-espace affine de codimension $n-1$ (les intégrales partielles que tu veux) de l'espace des fonctions...

J'aimerais par exemple que $\|f-\hat f\|_\infty\underset{h\to0}\longrightarrow 0 $ où $h=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n-1} |x_{i+1}-x_i|$ est le pas de la subdivision. Et j'aimerais aussi que dans les exemples pratiques (lorsque $h$ est inférieur à l'échelle typique de variation de $f$), le graphe de $\hat f$ ressemble visuellement à celui de $f$, autrement dit qu'il soit proche de l'interpolation "à vue" qu'on aurait pu tracer avec son crayon. Et ce serait aussi bien que l'interpolation ne soit pas affectée en mal par l'irrégularité de la subdivision $(x_i)$, car sinon rajouter certains points $x_i$ pourrait détériorer l'interpolation, ce qui serait dommage.

@Yves, @marsup : J'avais pensé à prendre une fonction affine par morceaux comme ça, mais j'avais peur que les erreurs soient amplifiées de $[x_i,x_{i+1}]$ en $[x_{i+1},x_{i+2}]$, pour donner à la fin une fonction qui oscille comme une folle. En revanche, je n'avais pas pensé à minimiser $\|\hat{f}'\|_2$. Donc j'ai fait un test dont on voit le résultat dans l'image en pièce jointe. En bleu c'est $f$, en orange c'est $\sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{F(x_{i+1})-F(x_i)}{x_{i+1}-x_i} {\bf1}_{[x_i,x_{i+1}]}$ $= \sum\limits_{i=1}^{n-1} \text{moyenne}_{[x_i,x_{i+1}]} (f) {\bf1}_{[x_i,x_{i+1}]}$ et en rouge c'est $\hat f$. Malheureusement, ça n'est pas très convainquant.
J'essaierai avec les polynômes de Lagrange quand j'aurai le temps, pour voir ce que ça donne.

@Foys : Oui, toutes les méthodes d'interpolation ont l'inconvénient qu'on ne peut pas garantir leur fiabilité sur une utilisation donnée. Donc je dois faire l'hypothèse que je suis dans un cas pratique où le pas $h$ de la subdivision est inférieur à l'échelle typique de variation de $f$. Dans ce cas, on n'est pas trop embêté par le problème que tu décris. Et puis, ce problème peut arriver à $h$ fixé, mais il n'empêche pas que $\hat f$ converge vers $f$ quand $h\to 0$.

Du coup, ce que j'avais tenté au départ (et que j'évoque dans mon premier message) c'est de définir $\hat f(x_i)$ comme un barycentre de $\text{moyenne}_{[x_{i-1},x_i]} (f)$ et $\text{moyenne}_{[x_i,x_{i+1}]} (f)$ pondéré par les longueurs de $[x_{i-1},x_i]$ et $[x_i,x_{i+1}]$, ainsi : $$\forall i\in[\![2,n-1]\!], \qquad \hat f(x_i) := \frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}-x_{i-1}} \frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}} + \frac{x_i-x_{i-1}}{x_{i+1}-x_{i-1}} \frac{F(x_{i+1})-F(x_i)}{x_{i+1}-x_i}$$ puis de poser : $\forall i\in[\![2,n-2]\!], \forall x\in [x_i,x_{i+1}],$ $$\hat f(x) := 6 \left( \frac{F(x_{i+1})-F(x_i)}{x_{i+1}-x_i} - \frac{\hat f(x_i)+\hat f(x_{i+1})}2 \right) \frac{(x-x_i)(x_{i+1}-x)}{(x_{i+1}-x_i)^2} + \hat f(x_i) \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}} + \hat f(x_{i+1}) \frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}$$ et on complète $\hat f$ sur $[x_1,x_2]$ et $[x_{n-1},x_n]$ par la méthode de Yves et marsup (par exemple). Les deux derniers termes de la formule ci-dessus assurent la continuité de $\hat f$ en $x_i$ et $x_{i+1}$, et le premier terme donne à $\int_{x_i}^{x_{i+1}} \hat f$ la bonne valeur. Le résultat est pas trop mal, mais on pourrait sûrement mieux choisir les $\hat f(x_i)$ pour éviter certains points anguleux, comme dans premier creux de l'image jointe.
C'est pour ça que je me suis demandé s'il existait déjà des méthodes connues meilleures que ça.