L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Équation des sinus/cosinus/etc.
Bonjour,
Les sinus des angles d'un triangle vérifient une certaine équation $x^3 + px^2 + qx + r = 0$.
Quelles sont les équations vérifiées par les cosinus, tangentes ou cotangentes ?
A+
Les sinus des angles d'un triangle vérifient une certaine équation $x^3 + px^2 + qx + r = 0$.
Quelles sont les équations vérifiées par les cosinus, tangentes ou cotangentes ?
A+
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Réponses
Je ne suis pas certain de très bien comprendre.
À titre d'exemple, je dois me tromper mais j'avoue avoir du mal à trouver un "trouple" rationnel $(p, q, r)$ tel que $\sin(\frac{\pi}{5})$ soit solution d'un polynôme unitaire de degré trois (peut-être car ça n'existe tout simplement pas, gné, étant donné que le polynôme minimal est de degré quatre (???)).
En soi, j'ai du mal à interpréter ton assertion : tu parles de "sinus des angles d'un triangle", alors pourquoi préciser que ce serait pour un triangle si il ne semble apparaître nulle part une condition liée au fait que la somme des angles d'un triangle vaille $\pi$ par exemple (peut-être juste que la condition est cachée dans des relations entre $p$, $q$ et $r$ mais ça m'étonnerait) ? (Enfin, on n'a qu'une équation et pas trois liées par la condition sur la somme des angles ou que sais-je.) Peut-être que triangle ici sous-entend juste "trigonométrie", je ne sais pas.
Dis moi si je me trompe et où.
Si je ne suis pas totalement à côté de la plaque, j'ai quelques idées (pour le cas où les coefficients seraient rationnels).
PS: Désolé pour l'utilisation de "trouple", c'est la première chose qui m'est venue en tête.
En regardant un peu, le problème a l'air intéressant. J'essaierai de m'atteler au problème (et voir celui que j'avais en tête) dès que possible.
Pour cosinus, je pars de $\displaystyle x^3+p x^2+ q x + r = 0$, je multiplie par $x$, puis j'élimine le $x^3$ selon ce polynôme, et pour exprimer $x$ selon $x^2$, j'écris $\displaystyle x = -{r+p x^2 \over q+x^2}.$ J'ai alors une expression qui ne dépend que de puissances paires en $x.$ J'écris alors $x^2 = 1- y^2$ puisque $\displaystyle \cos^2 z + \sin^2 z=1$ et le polynôme en $y$ est vérifié par les cosinus : $\displaystyle y^6 + (p^2-2 q-3)y^4 + (q^2+4q+3-2p^2-2pr) y^2 + (p+r)^2-(q+1)^2 = 0.$
De façon plus directe, je procède au changement de variable $x = \sqrt{1 - y^2}$, etc.
A+
C'est faux puisque tu ne connais pas le signe de $x.$
Le sinus d'un angle de triangle est toujours positif.
A+
Question subsidiaire :
établir l'équation aux cosinus, etc. en supposant que le triangle de référence n'a pas d'angle obtus.
A+
Une méthode analogue est possible lorsque $Q$ est une fraction rationnelle.
Ca a l'air intéressant, mais pourrait-on avoir un exemple ?
A+
$$-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \leq p \leq 0,\qquad 0 \leq q \leq \frac{9}{4}\quad\text{et}\quad -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \leq r \leq 0.$$ Mais cela n'est toujours pas suffisant.
En ajoutant la condition pour que l'équation ait trois racines réelles cela devrait suffire :
$$p^{2} \; q^{2} - 4 \; p^{3} \; r - 4 \; q^{3} + 18 \; p \; q \; r - 27 \; r^{2} > 0.$$
Dans cette figure GGB j'ai tracé le triangle à partir des angles déterminés par les trois sinus solutions de $x^3+p x^2 +q x+r=0$.
Amicalement,
Un bon dimanche !
Ludwig