Paradoxe de Banach Tarski again
Bonjour, je suis désolé de sévir à nouveau sur ce sujet mais il m'obsède. J'ai quelques questions d'abord : peut-on découper la sphère en un nombre défini de morceaux ? Par exemple on impose 148978 morceaux. La sphère, une fois reconstituée, on est bien d'accord que c'est une sphère parfaite, sans "trous" entre les morceaux. Peut-on choisir indépendamment le nombre de morceaux et le nouveau diamètre de la sphère ?
C'est vraiment curieux qu'un axiome aussi intuitif arrive à nous faire prendre des vessies pour des lanternes ...(un pois et le soleil comme disent nos amis (hummm) anglais..
Voilà, si quelqu'un a des commentaires, je suis preneur. J'ai lu le livre de Guinot mais ça me laisse un goût bizarre.
Voilà, si quelqu'un a des commentaires, je suis preneur. J'ai lu le livre de Guinot mais ça me laisse un goût bizarre.
Amicalement.
Jean-Louis.
Jean-Louis.
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Réponses
Je crois qu'il faut éviter l'usage du terme "morceaux" dans cette affaire. Car cela suggère que l'on va décomposer la sphere en petites facettes d'aire non nulle, à la façon d'une sphère à facettes pour discothèque. Mais ce n'est pas cela. Les sous-ensembles utilisés sont "sérieusement désagréables" et loin des ensembles sur lesquels s'exerce l'intuition usuelle.
Cordialement, Pierre.
On voit alors que $a^{-1}A^{+} =B^+\cup B^{-}\cup \{e\} $ et pareil pour $aA^{-}$, $b^{-1}B^+$ et $b B^{-}$. On voit donc qu'en multipliant ces quatre parties par des éléments de $G$ on obtient de quoi faire 2 copies complètes de $G$. Le théorème de Banach Tarski va utiliser cette idée en prenant pour $a$ et $b$ deux rotations (donc des isométries) de $\R^3$ qui ne commutent pas. On peut ainsi découper une sphère en 4 morceaux, les tourner et presque obtenir de quoi faire deux sphères identiques à la première. Le 5e morceau est surtout là pour faire joli dans mes souvenirs, la mesure est dupliquée uniquement à l'aide des 4 premiers morceaux.