41 et 43 deux jumeaux premiers remarquables
Bonjour au Forum
Définissons deux suites commençant par a(1) entier positif non nul quelconque.
Pour la première suite le terme suivant a(i) est a(i+1) = a(i)/2 si a(i) est pair, si a(i) est impair a(i+1) = 3*a(i) + 41.
Pour la deuxième suite le terme suivant a(i) est a(i+1) = a(i)/2 si a(i) est pair, si a(i) est impair a(i+1) = 3*a(i) + 43.
Conjecture:
Pour tout nombre a(1) multiple de 41 la première suite se terminera par le cycle trivial 41, 4*41, 2*41, 41 puis répétition perpétuelle, et pour tout autre nombre a(1) elle se terminera par un cycle se terminant par 4, 2, 1 et sa répétition perpétuelle.
Pour tout nombre a(1) multiple de 43 la deuxième suite se terminera par le cycle trivial 43, 4*43, 2*43, 43 puis répétition perpétuelle, et pour tout autre nombre a(1) elle se terminera par un cycle se terminant par 4, 2, 1 et sa répétition perpétuelle.
Il est possible sinon probable que ce couple de nombres premiers jumeaux 41 et 43 soit le seul à posséder cette propriété.
Définissons deux suites commençant par a(1) entier positif non nul quelconque.
Pour la première suite le terme suivant a(i) est a(i+1) = a(i)/2 si a(i) est pair, si a(i) est impair a(i+1) = 3*a(i) + 41.
Pour la deuxième suite le terme suivant a(i) est a(i+1) = a(i)/2 si a(i) est pair, si a(i) est impair a(i+1) = 3*a(i) + 43.
Conjecture:
Pour tout nombre a(1) multiple de 41 la première suite se terminera par le cycle trivial 41, 4*41, 2*41, 41 puis répétition perpétuelle, et pour tout autre nombre a(1) elle se terminera par un cycle se terminant par 4, 2, 1 et sa répétition perpétuelle.
Pour tout nombre a(1) multiple de 43 la deuxième suite se terminera par le cycle trivial 43, 4*43, 2*43, 43 puis répétition perpétuelle, et pour tout autre nombre a(1) elle se terminera par un cycle se terminant par 4, 2, 1 et sa répétition perpétuelle.
Il est possible sinon probable que ce couple de nombres premiers jumeaux 41 et 43 soit le seul à posséder cette propriété.
Réponses
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Comme images itérées de $1$, je trouve (en supprimant les nombres pairs) : $[1,11,37,19,49,47,91,157]$ (avec $41$).Les multiples de $41$ aboutissent manifestement sur des cycles qui relèvent de la conjecture de Syracuse habituelle.
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Merci, au moins une personne a suivi.
En partant de 41 on obtient 3*41+41 = 164 puis 82 puis 41 et répétition perpétuelle du cycle !!
A plus
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Comprenne qui voudra !!
A plus -
A plus
Après je bloque. -
Bonjour au Forum
Les nombres premiers qui suivent ont tous la même propriété que 41 et 43
.et aucune autre paire de premiers jumeaux107, 113, 739, 821, 1307, 1787, 1987, 2311, 2609, 3271, 3499, 3823, 4159, 4397, 4519, 5011, 5333, 5437, 5477, 5693, 6089, 6269, 6917, 7529, 7621, 10139
A plus
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Bonsoir.
Désolé de n'avoir pas tout suivi, un détail cependant m'interpelle :
Pour cette nouvelle suite, imaginons qu'on prenne un non multiple de 41 pour a(1), comment arrive-t-on au cycle 1-4-2-1 ?
Je ne vais pas reproduire la séquence de Math Coss, mais elle ne ressemble pas du tout à 1-4-2-1.
En ce qui concerne les multiples de 41, on tombe sur 41-164-82-41, ce n'est pas non plus 1-4-2-1.
Et surtout, si je prends a(i) = 3*a(i-1)+7 pour a(i-1) impair et a(i) =a(i-1)/2 pour a(i-1) pair, pour 7, j'obtiens 7-28-14-7,
si je prends a(i) = 3*a(i-1)+5 pour a(i-1) impair et a(i) =a(i-1)/2 pour a(i-1) pair, pour 5, j'obtiens 5-20-10-5.
5 et 7 sont donc aussi des jumeaux qui donnent ce genre de résultat.
Je n'ai peut-être pas tout suivi ?
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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@Dreamer
1, 44, 22, 11, 74, 37, 152, 73, 38, 19, 98, 49, 188, 94, 47, 182, 91, 314, 157, 512, ..........................., 4, 2, 1, ........................., 4, 2, 1, ......................
Il faut suivre et il faut savoir calculer.
À plus. -
Oui, il faut savoir suivre, je n'avais pas compris que la règle changeait en cours de route.
Bonne continuation.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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A chaque étape, on passe de n à 3n+41 si n impair et à n/2 si n pair.
En vrai, on arrive (c'est une partie de la conjecture) au cycle 1, 44, 22, 11, 74, 37, 152, 73, 38, 19, 98, 49, 188, 94, 47, 182, 91, 314, 157, 512, 256 , 128, 64, 32,16, 8, 4, 2, 1, et pas au cycle 1,4,2,1.
Sauf bien entendu, si on part d'un multiple de 41, on n'arrive pas à ce cycle, mais au cycle 41, 41*4, 41*2, 41.
Ce point là, c'est en quelque sorte une redite de la conjecture de Syracuse.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@lourrran
Oui, si on part de n non multiple de 41, 3*n+41 est la première étape et la suite se terminera toujours après un certain nombres d'étapes par le cycle final commençant par 1, 44, 22, 11 ....... et se terminant par 4,2,1 puis sa répétition perpétuelle.
On obtient bien 4,2,1 comme fin de cycle comme pour Syracuse, merci de m'avoir corrigé.
À plus.
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Rien à dire sur (5, 7) ?
Pour info :
1-8-4-2-1 concernant 5
1-10-5-22-11-40-20-10-5-...-20-10-5-...-20-10-5-... concernant 7.
Il faut savoir suivre, et bien calculer...
Bonne continuation.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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@Dreamer
C'est sur il faut savoir suivre et savoir calculer!
Pour 3n+5 on trouve 6 cycles différents suivant les valeurs de n.
Ces cycles commencent par 8 et se terminent par 1, ou commencent par 20 et se terminent par 5, ou commencent par 76 et se terminent par 19, ou commence par 92 et se terminent par 23, ou commencent par 748 et se terminent par 187 et je te laisse découvrir le sixième et dernier.
A plus
-
A plus
Après je bloque. -
Citation : On obtient bien 4,2,1 comme fin de cycle comme pour Syracuse, merci de m'avoir corrigé.
Euh... je disais exactement l'inverse, et je maintiens.
Mais c'est un détail.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@lourrran
Le cycle ne se termine pas par 4,2,1 si il ne se termine pas par 4*41, 2*41, 41 ou par 4*43, 2*43, 43 ?
À plus. -
A chaque étape,si n est impair, f(n)= 3n+41, et si n est pair, f(n)=n/2
C'est bien ça la règle ?
Si oui, alors f(1)=3*1+41=44 et pas 4.
Et on a un cycle 1, 44, 22, 11, ...., 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Maintenant, on peut modifier la règle :
si n est impair autre que 1, f(n)=3n+41,
si n est pair, f(n)=n/2
si n=1, f(n)=4
Et dans ce cas, oui, je suis d'accord avec les 4 ou 5 derniers messages que tu as écrits.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Bonjour!
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