En posant $f(t)=6/5(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{(1-t)^{5/6}}{t^2}-\dfrac{5}{6 t}) $ et $h(t)=f(t)+\int_0^t f(u) du $
on montre que $h(1)$ est le nombre recherché.
Il suffit de calculer l'intégrale grâce au changement de variable $u=1-v^6,$ le calcul (un peu fastidieux) se fait alors grâce à une décomposition en éléments simples.
On trouve alors $h(1)= 2 \ln (2) +3/2\ln(3) -\frac{\sqrt{3} \pi }{2}$
P.S. Il semble y avoir un problème avec le forum. Les formules de math n'apparaissent que quelques instants.
On peut généraliser en considérant $S_{\alpha}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\displaystyle\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\alpha}{k}\right)$ pour $\alpha>0$.
On utilise le développement en série entière :
$(1-x)^{\alpha-1}=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!}\displaystyle\prod_{k=1}^n(\alpha-k)=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n\displaystyle\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\alpha}k\right)$ valable pour $|x|<1$.
On intègre la série entière sur $[0,x]$ puis on fait tendre $x$ vers $1$ (on montre à l'aide de $\ln(1-\alpha/k)\leq -\alpha/k$ qu'il y a convergence normale sur $[0,1]$) pour obtenir :
$S_{\alpha}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{(1-x)^{\alpha-1}-1}{x}dx=\displaystyle\int_0^1\dfrac{t^{\alpha-1}-1}{1-t}dt=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+\alpha}-\frac{1}{n+1}\right)=-\gamma-\Psi(\alpha)$ où $\Psi=\dfrac{\Gamma'}{\Gamma}$.
L'exercice proposé correspond à $\alpha=\frac56$. On peut alors calculer l'intégrale :$S_{5/6}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{t^{-1/6}-1}{1-t}dt=\displaystyle\int_0^1\dfrac{6u^4(1-u)}{1-u^6}du=\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac{2}{1+u}+\dfrac{3u}{1+u+u^2}+\dfrac{u-2}{1-u+u^2}\right)du=2\ln2+\frac32\ln3-\pi\dfrac{\sqrt3}{2}$ (après calculs).
Pour des valeurs rationnelles, la formule de jandri peut s'agrémenter du théorème magnifique de Gauss que je viens de découvrir sur wiki :
Pour des entiers $0<p<q$ on a $$\psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\log(2q)-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{p\pi}{q}\right)+2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{q-1}{2}\right\rfloor }\cos\left(\frac{2\pi p}{q}n\right)\log\left(\sin\left(\frac{\pi}{q}n\right)\right)$$
Réponses
On a $\displaystyle \sum_{n \geq 1} {\prod_{k=1}^n (1-{5 \over 6 k})\over n}= - {\sqrt{3} \over 2} \pi + 2 \ln 2 + {3 \over 2} \ln 3.$
https://math.stackexchange.com/questions/3815793/convergence-of-the-sum-of-products-sum-k-0-infty-prod-j-1k-left1-fra/3817536#3817536
$$\psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\log(2q)-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{p\pi}{q}\right)+2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{q-1}{2}\right\rfloor }\cos\left(\frac{2\pi p}{q}n\right)\log\left(\sin\left(\frac{\pi}{q}n\right)\right)$$