Radical d'un idéal

Bonjour

J'essaie de démontrer que le radical $\sqrt{I} := \{x \in A \mid \exists n \geq 1,\ x^n \in I \}$ d'un idéal $I$ d'un anneau $A$ est l'intersection des idéaux premiers contenant $I$, à savoir $\sqrt{I}=\bigcap_{I \subset P} P$, idéal premier.

On sait que le nilradical $N(A) : = \{x \in A \mid \exists n \geq 1,\ x^n =0 \}$ de $A$ est l'intersection des idéaux premiers de $A$, i.e. $ N(A) = \bigcap_{P \subset A} P$ idéal premier. On utilise la projection canonique $\pi : A \rightarrow A/I$.

On a $\sqrt{I} = \pi ^{-1} (N(A/I))$, et si $P$ premier de $A/I$, alors $\pi ^{-1} (P)$ est premier de $A$, mais que la réciproque est fausse en général.

Cela donne : $\sqrt{I} = \pi ^{-1} (N(A/I)) = \pi ^{-1} ( \bigcap_{P \subset A/I} P) = \bigcap_{  P \subset A/I} \pi ^{-1}(P) \subset \bigcap_{  I \subset Q \subset A}  Q$, idéal premier, avec seulement une inclusion, comment obtient-on l'égalité ?

Merci d'avance.