Prouvez la convergence d'une séquence par récurrence
Problème. Soit, $$a_{1}=\frac{1}{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{na_{n}}},\quad \forall n\geqslant 1.$$
Ma tentative:
$$a_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{na_{n}}} \iff \log a_{n+1}=\frac{1}{2}\log \frac{1}{na_{n}} \iff \underbrace{\log a_{n+1}}_{u_{n+1}}=\frac{1}{2}\log \frac{1}{n}-\frac{1}{2}\underbrace{\log a_{n}}_{u_{n}} $$
$$\implies u_{n+1}=-\frac{1}{2}\log n -\frac{1}{2} u_{n}$$
Je ne sais plus comment avancer, je suis perdue. Je suis désolé.
Ma tentative:
$$a_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{na_{n}}} \iff \log a_{n+1}=\frac{1}{2}\log \frac{1}{na_{n}} \iff \underbrace{\log a_{n+1}}_{u_{n+1}}=\frac{1}{2}\log \frac{1}{n}-\frac{1}{2}\underbrace{\log a_{n}}_{u_{n}} $$
$$\implies u_{n+1}=-\frac{1}{2}\log n -\frac{1}{2} u_{n}$$
Je ne sais plus comment avancer, je suis perdue. Je suis désolé.
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