Intégrale de convolution (un processus de Poisson composé )

Marie_Paris
Marie_Paris
Modifié (December 2021) dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je n'arrive pas à comprendre le résultat de l'intégrale (surligné en jaune).
Est-ce que c'est une application d'une formule particulière dans le cas de convolution ?

Merci pour votre aide  !

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Il me semble qu'à la ligne précédente, il suffit de développer le produit et d'utiliser la linéarité de l'intégrale.
  • Marie_Paris
    Marie_Paris
    Merci, j'ai essayé mais je ne trouve pas :(
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2021)
    On a
    $\displaystyle{\int_0^x (1-e^{-b(x-y)}) b e^{-b y} dy = \int_0^x be^{-by} - be^{-bx} dy}$.
  • Marie_Paris
    Marie_Paris
    Merci, je comprends.
    En fait je ne comprends pas comment on intègre la partie (par dy) surlignée en jaune (elle ne contient pas y).

  • Marie_Paris
    Marie_Paris
    Merci, je comprends.
    En fait je ne comprends pas comment on intègre la partie (par dy) surlignée en jaune (elle ne contient pas y).

  • MrJ
    MrJ
    Il s'agit d'une intégrale par rapport à la variable $y$. Or la fonction dans l'intégrale ne dépend pas de $y$ : il s'agit d'une constante par rapport à la variable d'intégration. En notant $C = b e^{-bx}$, on a donc
    $$\int_0^x C dy = [Cy]_{y=0}^{y=x}= Cx.$$
  • Marie_Paris
    Marie_Paris
    Merci beaucoup, j'ai compris :)
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