Courbure d'une variété d'Einstein
Bonjour,
Dans l'article de Wikipédia consacré aux variétés d'Einstein, on trouve l'expression $R_{ab}=\frac{2\Lambda}{n-2}g_{ab}$, avec à gauche le tenseur de Ricci, $\Lambda$ la constante cosmologique, $n$ la dimension de la variété et $g_{ab}$ le tenseur métrique. J'aimerais savoir si le $-2$ vient du fait que les tenseurs considérés ont $2$ indices.
Merci et bonne journée.
Dans l'article de Wikipédia consacré aux variétés d'Einstein, on trouve l'expression $R_{ab}=\frac{2\Lambda}{n-2}g_{ab}$, avec à gauche le tenseur de Ricci, $\Lambda$ la constante cosmologique, $n$ la dimension de la variété et $g_{ab}$ le tenseur métrique. J'aimerais savoir si le $-2$ vient du fait que les tenseurs considérés ont $2$ indices.
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Réponses
L'équation d'Einstein dit $\operatorname{Ric}-\frac12Rg+\Lambda g=0$, d'où $R-\frac n2R+n\Lambda=0$, donc $R=\frac{2n}{n-2}\Lambda$. (Ici $\operatorname{Ric}$ est le tenseur de Ricci et $R$ la courbure scalaire.)
@sylvain
Reprenons calmement sans connaître le résultat.
On a $G_{ab} + \Lambda g_{ab} = k T_{ab}$ avec $k$ une constante dont on se fout puisque dans le vide $T_{ab} = 0$ par définition du vide dans l'espace-temps.
On a $G_{ab} = R_{ab} - {1 \over 2} R g_{ab}.$
On écrit donc $T_{ab}=0$ dans la première équation et on reporte $G_{ab} = - \Lambda g_{ab}$ dans la seconde équation.
Puis, on contracte les indices pour obtenir la trace puisque par définition $g^{ab} G_{ab} = G,\ g^{ab} R_{ab} =R,\ g^{ab} g_{ab}=n$ avec $n$ la dimension de l'espace-temps ($n=4$).
On obtient donc immédiatement : $-\Lambda n = R - {1 \over 2} R n$ qui est bien la relation cherchée.
Où est ton erreur ? Dans le calcul de la trace. Il faut contracter les indices et non pas additionner les valeurs sur la diagonale ! Par contraction, on obtient (hors les termes nuls) : $g^{ab} g_{ab} = (-1) \times (-1) + 1 \times 1 +1 \times 1 +1 \times 1 = 4$ et $n=4.$