Courbure d'une variété d'Einstein
Bonjour,
Dans l'article de Wikipédia consacré aux variétés d'Einstein, on trouve l'expression $R_{ab}=\frac{2\Lambda}{n-2}g_{ab}$, avec à gauche le tenseur de Ricci, $\Lambda$ la constante cosmologique, $n$ la dimension de la variété et $g_{ab}$ le tenseur métrique. J'aimerais savoir si le $-2$ vient du fait que les tenseurs considérés ont $2$ indices.
Merci et bonne journée.
Dans l'article de Wikipédia consacré aux variétés d'Einstein, on trouve l'expression $R_{ab}=\frac{2\Lambda}{n-2}g_{ab}$, avec à gauche le tenseur de Ricci, $\Lambda$ la constante cosmologique, $n$ la dimension de la variété et $g_{ab}$ le tenseur métrique. J'aimerais savoir si le $-2$ vient du fait que les tenseurs considérés ont $2$ indices.
Merci et bonne journée.
Réponses
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Non (si j'ai bien compris la question). Ça vient de l'équation d'Einstein. Plus précisément, prends-en la trace (en supposant que le tenseur énergie-impulsion est nul) et tu pourras alors exprimer la courbure scalaire en fonction de la constante cosmologique.
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Donc $n-2$ c'est la trace du tenseur métrique ?
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Mais non ! La trace du tenseur métrique c'est la trace de la matrice identité, elle vaut donc $n$.
L'équation d'Einstein dit $\operatorname{Ric}-\frac12Rg+\Lambda g=0$, d'où $R-\frac n2R+n\Lambda=0$, donc $R=\frac{2n}{n-2}\Lambda$. (Ici $\operatorname{Ric}$ est le tenseur de Ricci et $R$ la courbure scalaire.) -
Ce n'est pas très logique que la trace du tenseur métrique vaille $n$, ça suppose que seul l'espace existe et non le temps. Si je prends $g_{ij}=diag(-1,1,1,1)$ la trace vaut $2$.
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Non. Pour prendre la trace, on doit avoir un indice supérieur et un inférieur. En particulier, $\operatorname{tr}g=g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$ vaut toujours $n$.
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Bonjour,
@sylvain
Reprenons calmement sans connaître le résultat.
On a $G_{ab} + \Lambda g_{ab} = k T_{ab}$ avec $k$ une constante dont on se fout puisque dans le vide $T_{ab} = 0$ par définition du vide dans l'espace-temps.
On a $G_{ab} = R_{ab} - {1 \over 2} R g_{ab}.$
On écrit donc $T_{ab}=0$ dans la première équation et on reporte $G_{ab} = - \Lambda g_{ab}$ dans la seconde équation.
Puis, on contracte les indices pour obtenir la trace puisque par définition $g^{ab} G_{ab} = G,\ g^{ab} R_{ab} =R,\ g^{ab} g_{ab}=n$ avec $n$ la dimension de l'espace-temps ($n=4$).
On obtient donc immédiatement : $-\Lambda n = R - {1 \over 2} R n$ qui est bien la relation cherchée.
Où est ton erreur ? Dans le calcul de la trace. Il faut contracter les indices et non pas additionner les valeurs sur la diagonale ! Par contraction, on obtient (hors les termes nuls) : $g^{ab} g_{ab} = (-1) \times (-1) + 1 \times 1 +1 \times 1 +1 \times 1 = 4$ et $n=4.$ -
Oui, j'ai compris maintenant, merci à vous deux.
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Juste une question : pour calculer la trace du tenseur de Ricci, donc la courbure scalaire, c'est $R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$ ou $g_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$? Je penche pour la première, dans la mesure où j'ai envie de penser qu'il n'y a pas de raison de "favoriser" un type de composantes plus que l'autre.
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Bon, Wikipédia a répondu à ma question, il faut utiliser le tenseur métrique.
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