Est-ce que la limite existe ?

Bonsoir,
Soit $(f_n)_{n\geq 0}$ une base orthonormée de l'espace de Hardy $H^2(\mathbb D)$, telle que $$\sum_{n\geq 0} a_n^2|\langle 1\mid f_n\rangle|^2= c\,,$$ où $c$ est une constante positive et $a_n$ est une suite de réelle ordonnée (i.e $a_{n-1}\leq a_n$ pour tout $n$), bornée inférieurement et telle que $a_n\to \infty\,$, quand $n\to \infty\,$.
Supposons de plus que $\sum_{n\geq 0} |\langle 1\mid f_n\rangle|^2=1\,$. Peut-on déduire que la limite $$
\lim_{n\to \infty}a_n-a_{n-1}$$ existe ?
Merci d'avance !