Valeur d'adhérence

Pour n’importe quel ensemble $F$, ça ne marche pas, mais pour une certaine catégorie d’ensembles $F$, ça marche. 

OShine a dit :

Si une suite est bornée pourquoi la limite resterait dans F ? 

OShine a dit :

@JLapinPourquoi si on applique Bolzano Weierstrass à un espace de dimension finie $F$, la valeur d'adhérence reste dans $F$ ?  Ce n'est pas expliqué dans le livre.

Ben regarde la preuve du théorème de Bolzano Weierstrass (th 18) et remplace E par F...

OShine a dit :

@alm
Le théorème ne parle pas de norme, je n'ai pas trop compris.

Oui, le théorème 18 ne parle pas de norme parce qu'il parle d'un espace vectoriel de dimension finie, donc toutes les normes sont équivalentes. Mais pour parler de valeur d'adhérence, on doit avoir une norme sur l'espace. Le théorème sous-entend n'importe quelle norme.
Revenons à la proposition 20: On part d'un espace vectoriel normé quelconque $(E,\|.\|)$ et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $F$ est de dimension finie; soit $(u_n)\in F^{\mathbb N}$ une suite à valeurs dans $F$ tel que $(u_n)$ converge vers $\ell$ avec $\ell\in E$. Il en découle que $(u_n)$ est bornée en tant que suite de $E$. Mais alors elle reste aussi bornée en tant que suite dans $F$. Appliquons le théorème 18: $F$ est un espace vectoriel de dimension finie(oublions provisoirement sa qualité se SOUS-espace de $E$), donc la suite bornée $(u_n)$ de $F$ admet une valeur d'adhérence $\lambda$ , tout ceci se passe dans $F$ ( on oublie  un peu $E$ ), notamment $\lambda \in F$. Si on retourne vers $E$, le vecteur $\lambda$ est aussi une valeur d'adhérence de $(u_n)$ comme suite dans $E$, or elle converge vers $\ell$, donc  $\lambda=\ell$ et par suite $\ell\in F$.

OShine a dit :

D'accord merci. Voici la preuve mais je n'ai pas vraiment compris pourquoi la valeur d'adhérence appartient à $F$ 

Tu procèdes comme suit. Il existe une sous-suite $u_{\varphi_1(n)}^1$ de $(u_n^1)$ qui converge vers $\ell_1$; ensuite une sous-suite $u_{\varphi_1(\varphi_2n))}^2$ de $(u_{\varphi_1(n)}^1)$  qui converge vers $\ell_2$, et ainsi de suite et finalement , il existe   une sous-suite $u_{\varphi_1(\varphi_2(\dots \varphi_p(n))}^p$ de $(u_{\varphi_1(\varphi_2(\dots \varphi_{p-1}(n))}^1)$  qui converge vers $\ell_p$. En posant $\varphi=\varphi_1\circ \dots \circ \varphi_p$, on a pour tout $n\in \mathbb N$ :$$u_{\varphi(n)}=\sum\limits_{k=1}^p u_{\varphi(n)}^k e_k$$  donc $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{\varphi(n)}=\sum\limits_{k=1}^p \ell_k e_k =\ell \in E$$

Lis la démo du théorème 18

OShine a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2330854/#Comment_2330854