La limite d'une suite

evariste21

December 2021 Modifié (December 2021) dans Analyse

Problème.
Soit $x_{1}=1$ et pour $m\geqslant 1$ soit $$x_{m+1}=\left(m+\frac{3}{2}\right)^{-1}\sum_{k=1}^{m}x_{k}x_{m+1-k}.$$ Calculer $\qquad\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{x_{m}}{x_{m+1}.}$
Ressource. AMM.
Merci.

Réponses

• 

  bisam

  December 2021 Modifié (December 2021)

  Je sais croyais savoir prouver que la suite $(x_m)_{m\geq1}$ est la suite des coefficients non nuls du développement en série entière de $\frac{1}{\sqrt{2}}\tan(\sqrt{2}x)$.

  Avec les formules à l'aide des nombres de Bernoulli, on doit pouvoir aurait pu montrer que la limite vaut $\frac{\pi^2}{8}$.
  
• 

  Math Coss

  December 2021

  Ça me paraît bizarre : dans $x_2$ on trouve du $5$ en dénominateur ($x_2=\frac25$ si je ne m'abuse) alors que ta fonction commence par $x+\frac23x^3$.
  
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  bisam

  December 2021 Modifié (December 2021)

  Ah, alors, je me suis complètement trompé en appliquant mes formules...

  Elles ressemblaient tellement à celles que j'ai fait prouver à mes élèves il y a moins d'une semaine que je me suis emballé... Je vais relire ça tranquillement demain.

  
  

  [Edit]
  

  Des essais numériques semblent indiquer que la limite serait en fait $\frac{\pi^2}{6}=\zeta(2)$.

  Finalement, je ne dois pas être si loin... je vais voir si je peux corriger le tir.
  
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  Math Coss

  December 2021

  J'y crois !
  
• 

  bisam

  December 2021 Modifié (December 2021)

  Bon, j'ai finalement réussi, je pense, mais c'est beaucoup moins évident.

  Si on cherche une fonction $f$ développable en série entière telle que sur son disque de convergence on ait : \[f(t)=\sum_{m=1}^{+\infty}x_mt^{2m},\]

  on trouve que $f$ vérifie une équation différentielle de Riccati : \[2f(x)^2=xf'(x)+f(x)-3x^2.\]

  Si, ensuite, on fait le changement de fonction inconnue $f(x)=-\frac{x}{2}\times \frac{u'(x)}{u(x)}$, on trouve que $u$ vérifie l'équation différentielle linéaire
  

  du second ordre $xu''(x)+2u'(x)+6xu'(x)=0$.

  On cherche alors les solutions développables en série entière de cette équation et on trouve que \[u(x)=b_0\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k 6^k x^{2k}}{(2k+1)!}=b_0 \frac{\sin(\sqrt{6}x)}{\sqrt{6}x}\]

  Par conséquent, on trouve finalement que \[f(x)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt{6}x}{\tan(\sqrt{6}x)}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{6}x \cot(\sqrt{6}x)\right).\]

  Il ne reste qu'à utiliser le développement en série entière de la cotangente :

  \[\cot(x)=\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{2n}}{(2n)!}B_{2n}x^{2n-1},\] où les $(B_{2n})_{n\in\N^*}$ sont les (valeurs absolues des) nombres de Bernoulli, pour trouver que :

  \[f(x)=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{{24}^m}{(2m)!}B_{2m}x^{2m},\]

  et par conséquent pour tout $m\geq 1$, \[x_m=\frac{{24}^m}{2(2m)!}B_{2m}\underset{+\infty}{\sim} \frac{{24}^m}{(2\pi)^{2m}}.\]

  Finalement, \[\frac{x_m}{x_{m+1}}\underset{+\infty}{\sim} \frac{(2\pi)^2}{24}=\frac{\pi^2}{6}.\]

  Ouf, l'honneur est sauf.
  
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  Math Coss

  December 2021

  Bien joué. (J'ai vérifié que les quinze premiers coefficients de ton $f$ sont bien les quinze premiers termes de la suite, ce que tu as certainement fait aussi.)
  

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