Question sur le problème de Dirichlet

Diasmine
Diasmine
Modifié (December 2021) dans Analyse
Bonjour à tous, en vue de me préparer pour mes examens, j'essaie de faire des annales des années précédentes... et je me rends compte que je n'ai pas compris grand chose :|
J'ai du mal à faire la question 1.

Nous avons: $<Bf,v>_{H0,1} = <Bf,v>_{L_2}  + \sum_{j=1}^{d} <\delta_{j}Bf,\delta_{j}v>_{L2}$, ce qui est égal il me semble à
$<Bf,v>_{L_2}  +  <\Delta Bf,\Delta v>_{L2}$ car $<\Delta u,\Delta v>_{L2} = \sum_{j=1}^{d}  \int_\Omega \delta_{j}u(x) \times\delta_{j}v(x) \, \mathrm{d}x $

Du coup il ne resterait qu'à montrer que $<Bf,v>_{L_2}  = 0$
$<Bf,v>_{L_2}   = \int_\Omega Bf(x) \times v(x) \mathrm{d}x =  \int_\Omega v(x) \times v(x) \mathrm{d}x = ||v||_{L2} ^2 $ 
Mais je ne vois pas pourquoi ça ferait zéro...

Je vous remercie d'avance pour votre aide!

Réponses

  • Calli
    Calli
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,
    Attention, tu as l'air d'écrire des $\Delta$ à la place de $\nabla$ et des $\delta_j$ au lieu de $\partial_j$. On ne peut pas changer ces symboles comme ça. Les commandes Tex sont \nabla et \partial.
    On dirait que cet exercice prend comme définition $\langle u,v\rangle_{H^1_0} := \langle \nabla u,\nabla v\rangle_{L^2}$. La première égalité de la question 1 vient de ça.
    Pour la deuxième, il faut utiliser que $f$ vérifie $-\Delta B_\Omega f = f$ (au sens faible).
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Autre remarque de LaTeX: les crochets se notent avec \langle et \rangle.
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Puisque $F$  est minimale en $B_\Omega (f)$   alors  $F'(B_\Omega (f))=0.$  Et cela c'est exactement l'identité à démontrer.
     
  • Diasmine
    Diasmine
    Modifié (December 2021)
    Calli : oui j'ai juste confondu sur mon clavier !
    Du coup par définition, $<Bf,v>_{H0,1} =  <\nabla Bf,\nabla v>_{L2}$
    Mais je ne comprends pas pourquoi $<\nabla Bf,\nabla v>_{L2}= <f, v>_{L2}$
    En effet :   $<\nabla Bf,\nabla v>_{L2}=  <\nabla v,\nabla v>_{L2}=  \sum_{j=1}^{d}||\partial_{j}v||_{L2}^2$
    En quoi $   \sum_{j=1}^{d}||\partial_{j}v||_{L2}^2 = = <f, v>_{L2}$ ?
    Et je ne sais pas ce que cela veut dire "au sens faible"...

    Héhéhé : c'est noté ! Merci.
    bd2021 : oui cela cela paraît logique! Mais je ne vois pas où ça intervient dans l'équation...
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (December 2021)
    Puisque $F'(u)$  est définie  par   $<F'(u),v>=<\nabla u ,\nabla v> -<f,v >, \forall v\in H^1_0(\Omega)$   alors  $F'(Bf )=0 .$ 
    signifie $<\nabla Bf,  \nabla v> -<f,v >=0 , \forall v\in H^1_0(\Omega).$ 
     
  • Diasmine
    Diasmine
    D'accord, merci!
    Ce que je ne comprends pas, c'est comment vous avez fait pour définir F'(u)...
    Je suis désolée si mes questions sont bêtes, mais je suis vraiment perdue.
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (December 2021)
    Bonjour 
    Pour le calcul de $F'(u)$  il faut revenir à la définition : $F(u+h)=F(u)+F'(u)(h) +o(h). $
    Autrement dit tu  développes   $F(u+h)$      pour obtenir  $F(u)  + $  partie linéaire $+ \ldots$
    La partie linéaire  donne $F'(u)(h)$  notée aussi $<F'(u),h>.$ 
     
  • Diasmine
    Diasmine
    Bonsoir, merci pour votre réponse.  Nous avons corrigé cet exercice en cours, et j'ai bien mieux compris (même si on ne passait pas du tout par les mêmes méthodes!)
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    C'est quoi une autre méthode ?  En effet chercher où $F'$  s'annule n'est pas suffisant pour dire que c'est un minimum.  Il faut regarder le terme complémentaire. Mais à part cela je ne vois pas ce que peut être une autre méthode.
     
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