Une formule fermée pour les dérivées secondes de $f(x,y,z)=0$

evariste21 · December 2021

Question. Supposons que $F(x,y,z)=0$ et $z=F(x,y)$, comment puis-je obtenir $\dfrac{{\rm d}^{2}z}{{\rm d}x^{2}}$ et $\dfrac{{\rm d}^{2}z}{{\rm d}y^{2}}$ ?
D'après le théorème de la fonction implicite, je sais que$$z_{x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}, \quad z_{y}=-\frac{F_y}{F_z}.$$ Merci.

evariste21 · December 2021

Bien sûr, j'ai essayé de calculer $$z_{xx}=(z_{x})^{'},\quad z_{yy}=(z_{y})^{'}.$$ Cependant, j'ai des problèmes avec la règle de la chaîne.

Riemann_lapins_cretins · December 2021

Change tes notations, ta fonction implicite ne peut pas s'appeler F...
Sinon tu peux dériver deux fois la relation F(x,y,z) = 0 par rapport à x et y. Si tu sais le faire une fois, tu dois savoir le faire deux fois. La "chain rule" peut faire peur mais il ne faut pas avoir peur de se lancer, ce n'est pas prise de tête du tout.

Une formule fermée pour les dérivées secondes de $f(x,y,z)=0$

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