Sur l'infinité des nombres premiers jumeaux

babsgueye · December 2021

Je suggère une esquisse de preuve de l'infinité des pairs de nombres premiers jumeaux.
Tous les entiers $k$ tels que $(2k + 1)(2k + 3)$ ne s'écrive pas sous la forme $(2a + 1)(2b + 1)(2c + 1)$ où $a, b, c \in \mathbb{N}^*$, donnent des pairs de nombres premiers jumeaux.
Mais on a $(2k + 1)(2k + 3) = (2a + 1)(2b + 1)(2c + 1)\iff 4k^2 + 8k - (2a + 1)(2b + 1)(2c + 1) + 3 = 0$.
La solution en $k$ positif est $\dfrac{\sqrt{(2a + 1)(2b + 1)(2c + 1) + 1}}{2} - 1$.
Il suffit et je pense qu'il est relativement aisé de montrer que $\dfrac{\sqrt{(2a + 1)(2b + 1)(2c + 1) + 1}}{2} - 1$ ne prend pas tous les entiers à partir d'un certain rang.
Qu'en pensez-vous ?
Merci.

LEG · December 2021

Bonjour:
1) Tu dis que tous les entiers: $(2k+1)(2k+3)$ ne s'écrivent pas sous la forme $(2a+1)(2b+1)(2c+1)$....etc ok

Puis tu rajoutes le contraire de 1) : Mais on a $(2k+1)(2k+3)=(2a+1)(2b+1)(2c+1)$ ...? tous ...?

Questions :
A) est-ce-que ce produit $(2a+1)(2b+1)(2c+1)$ peut avoir une relation avec un des deux nombres premiers jumeaux ? laquelle ?

ou encore : avec ce produit $(2k+1)(2k+3)$ et laquelle ...?

à partir de quel rang ...? car un certain rang et aussi vague que la conjecture est toujours vraie à partir d'un certain rang...Non ?

De toutes les façon , si on pense que d'après le projet "polymate" où il a été montré qu'il y a une infinité de premiers ayant un écart de 246.
Ce qui ne serait qu'une conséquence de la démonstration de l'infinité de premiers en progression arithmétique de longueur arbitraire, théorème de G &Tao si je ne me trompe pas ...
Alors il est aisé de montrer qu'il en est de même pour un écart de 150 entre deux nombres premiers , puis 90 ; puis 2 . car il y en a une même densité pour une limite fixée et par tranche de 100 nombres premiers consécutifs... En utilisant un algorithme par famille arithmétique de raison 30 ...etc

Ce ne serra qu'une conséquence de leur théorème .

Pour info : Je joins un fichier sur la densité de ces couples de premiers ayant un écart de 246 ou de 2 ou de 150...etc
Bonne continuation.

babsgueye · December 2021

Non je ne rajoute pas le contraire, j'exhibe plutôt les $k$ non convenables. En fait montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, équivaut ici à montrer que les racines de cette équation (les $k$ non convenables) ne sont pas tous les entiers naturels à partir d'un certain rang. En d'autres termes à montrer que $\dfrac{\sqrt{(2a+1)(2b+1)(2c+1) + 1}}{2} - 1$ ne couvre pas $\mathbb{N}$ à partir d'un certain rang, pour $a$, $b$, et $c$ variant dans $\mathbb{N}^*$.
Ben, je pensais que c'est relativement facile à montrer, mais je me rends compte que ce n'est pas le cas. Merci de vos idées.