Valeurs propres d'une matrice

AlphaNico · December 2021

Bonsoir à tous

Je vous livre un sujet qui a été posé en 2017 à l'oral de Centrale : on s'intéressait à la matrice $A$ dont le terme général est $a_{ij}=\mathrm{max}(i,j)$.

La matrice $A$ est symétrique réelle, donc, diagonalisable, mais l'énoncé demandait de démontrer que tous les sous-espaces propres étaient de dimension 1. Avec Python, cela se vérifie facilement pour les petites valeurs de $n$, mais comment le démontrer dans le cas général ?

Merci pour votre aide,

$\alpha$-Nico.

LOU16 · December 2021

Bonjour

Cela peut se justifier en disant que pour tout réel $x$ , le rang de $B(x) :=A-x \mathrm I_n$ est supérieur ou égal à $n-1$, ce qui se voit facilement en faisant subir à $B(x)$ les opérations: $\forall k \in [\![2;n]\!], \quad L_k \leftarrow L_k-L_1\qquad (L_i: i\text{-ème ligne de }B(x)).$

Cela entraîne que $ \forall \lambda \in \mathrm {Sp} (A), \quad \dim \ker (A-\lambda \mathrm I_n) =1.$