L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Un exercice un tantinet original
dans Algèbre
Bonjour,
Sachant que $ax + by + cz = 0$ et $a/x + b/y + c/z = 0$, calculer $x/y, y/z, z/x$.
A+
Sachant que $ax + by + cz = 0$ et $a/x + b/y + c/z = 0$, calculer $x/y, y/z, z/x$.
A+
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Réponses
Ça n'a pas l'air très simple:
$\dfrac{x}{y}=\dfrac{-(a^2+b^2-c^2)\pm\sqrt{-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2ab}$ et permutation circulaire.
Ce n'est pas toujours réel.
Cordialement,
Rescassol
Je divise par $a$ et par $x$ les deux équations. Je note avec majuscules les variables ainsi réduites :
$1+BY+CZ=0, 1+B/Y+C/Z=0$
J'ai éliminé $z$ entre les équations $ax+by+cz=0$ et $ayz+bzx+cxy=0$ et obtenu l'équation $abx^2 + (a^2+b^2-c^2)xy + aby^2=0$.
La résolution de cette équation du second degré donne la formule donnée ci-dessus.
Cordialement,
Rescassol
Quand (a, b, c) est un triplet de Pythagore pour lequel c > b et c > a, cette équation se simplifie grandement.
À bientôt.
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Oui, Dreamer, dans ce cas, il reste $ \dfrac{x}{y}=\pm i$ car $c^2=a^2+b^2$ et $\Delta=-4a^2b^2$.
Cordialement,
Rescassol
J'ai procédé comme Rescassol et le résultat m'a fait, moi aussi, penser à Héron.
Quid d'une interprétation géométrique :intersection d'un plan et d'un je ne sais quoi ?
A+
Il y a les coordonnées trilinéaires, et il y a les coordonnées barycentriques. Une fois traduites en barycentriques, les équations deviennent $x+y+z=0$ et $a^2yz+b^2zx+c^2xy=0$. Autrement dit, on est en train de se demander quels sont les points communs à la droite de l'infini et au cercle $ABC$. Il ne faut donc pas être surpris de voir apparaître les deux ombilics : \[ \left[ \begin {array}{c} {\it Sb}-2\,iS\\ {\it Sa} +2\,iS\\ -{c}^{2}\end {array} \right] ,
\left[ \begin {array}{c} {\it Sb}+2\,iS\\ {\it Sa}-2\,iS\\ -{c}^{2}\end {array} \right]
\] Quant à l'identité remarquable \[ \left( {\frac {{\it Sb}-2\,iS}{ -{c}^{2} }} \right) \left( {\frac {{\it Sc}-2\,iS}{ -{a}^{2} }} \right) \left( {\frac {{\it Sa}-2\,iS}{ -{b}^{2} }} \right) =1 \]
Cordialement, Pierre.