Une droite passant par le point de Feuerbach et le centre du cercle inscrit

Jean-Louis Ayme · November 2021

Bonjour, je vous propose ce problème. La figure est simple, mais la preuve synthétique recherchée est plus dure à trouver...

1. ABC un triangle

2. (O) le cercle circonscrit à ABC

3. G, Fe, P le point médian, le point de Feuerbach de ABC, le pied de la A-hauteur

4. (S) le cercle circonscrit au triangle AFeP

5. T le point d'intersection de (FeG) avec (O) comme indiqué sur la figure

6. M le second point d'intersection de (AT) avec(S).

Question: (FeM) passe par I.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement.

Jean-Louis.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/5q/i9k5u25lpbv1.png

pldx1 · November 2021

$T=3 G -2 F_e$

Jean-Louis Ayme · November 2021

Mercl Pierre,
le résultat que vous rappelez est connu... une simple preuve synthétique le confirme...
Merci
Jean-Louis

Rescassol · November 2021

Bonjour,

Jean-Louis, pourrais tu préciser ce que signifie "comme indiqué sur la figure" pour un triangle $ABC$ quelconque, avec des mots mathématiques ?

Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme · November 2021

Bonsoir,
ancienne terminologie...qui suppose que la figure a été donnée en premier et l'énoncé en second...ce que le site ne me permet pas de réaliser...
En fait c'est juste pour éviter de préciser par écrit la position des points...
Une autre expression : proche de tel point...que l'on rencontre aussi...

La figure est donc fixe et l'énoncé n'est pas quantifié...ce qui évite toute algébrisation et transformation...c'est par ce point de vue que la géométrie m'a été enseignée au début et c'est par ce point de vue que j'essaye avec mes faibles moyens d'attirer certains postulants dans ce domaine en forte décomposition.

Maintenant, si nous renversons l'ordre alors tout peut être envisagé et généralisé...c'est un autre point de vue...que j'ai aussi connu lors de mes études...et qui m'a permis d'écrire un livre intitulé ''Méthodes et techniques en Géométrie''
Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol · November 2021

Bonjour,

J'y suis parvenu avec Morley inscrit en modifiant quelque peu l'ordre de la construction, ce qui donne une construction équivalente:

%  Jean-Luois Ayme - 29 Novembre 2021 - Une droite passant par 
% le point de Feuerbach et le centre du cercle inscrit

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u); 
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

f=s2/s1; fB=s2B/s1B; % Point de Feuerbach F
g=(a+b+c)/3; gB=(aB+bB+cB)/3; % Centre de gravité G
p=(s2-u^2)/(v+w); pB=(s2B-uB^2)/(vB+wB); % Pied de la A-hauteur P

% Point M où la droite (IF) recoupe le cercle APF

syms k real % On a IM = k IF (en vecteurs) 

Bi=Birapport(a,p,f,k*f);
BiB=Birapport(aB,pB,fB,k*fB);
NulM=Factor(Bi-BiB);

% On trouve:

k = 2*v*w*(2*u*v+2*u*w+v*w+u^2)/((v+w)*((v+w)*(u^2+v*w)+2*s3)); % D'où M:

m=k*f; mB=k*fB;

% Point d'intersection T des droites (FG) et (AM)

[pfg qfg rfg]=DroiteDeuxPoints(f,g,fB,gB); % Droite (FG)
[pam qam ram]=DroiteDeuxPoints(a,m,aB,mB); % Droite (AM)

[t tB]=IntersectionDeuxDroites(pfg,qfg,rfg,pam,qam,ram);

t=Factor(t) % On trouve t=2*s3*(s1^2+s2)/(s1*(s1*s2-s3))  
% T est X_100 qui est connu pour être sur le cercle circonscrit,
% mais on peut le vérifier:

Bi=Birapport(a,b,c,t);
BiB=Birapport(aB,bB,cB,tB);

NulT=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol