Coordonnées dans une base et suite
Bonjour
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base $B=(e_1, \dots, e_p)$. Soit $(a_n)$ une suite à valeurs dans $E$. Notons $(a_n ^{(1)}, \cdots, a_n ^{(p)})$ les suites coordonnées dans la base $B$, vérifiant
$\forall n \in \N, \ a_n= \displaystyle\sum_{k=1}^p a_n ^{(k)} e_k$. Étant donné $l=\displaystyle\sum_{k=1}^p l_k e_k$ appartenant à $E$, il est équivalent de dire :
(i) $a_n \longrightarrow l$
(ii) pour tout $k \in [|1,p|]$ la suite $(a_n ^{(k)}$ converge vers $l_k$
Je ne comprends pas un détail de la preuve.
Comme $E$ est de dimension finie on peut le munir d'une norme que l'on souhaite. Munissons $E$ de la norme infinie dans la base B :
$N_{\infty}(x) = \max_{k \in [|1,p|]} |x_k|$ où $x=(x_1, \cdots, x_p)$
Il est alors clair qu'au sens de la norme infinie, la convergence vers $l$ de la suite $(a_n)$ revient à la convergence des $(a_n ^{(k)})$ vers $l_k$ car
$N_{\infty}(x) = \max_{k \in [|1,p|]} | a_n ^{(k)} -l_k| $
Je n'arrive pas à montrer le dernier passage.
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base $B=(e_1, \dots, e_p)$. Soit $(a_n)$ une suite à valeurs dans $E$. Notons $(a_n ^{(1)}, \cdots, a_n ^{(p)})$ les suites coordonnées dans la base $B$, vérifiant
$\forall n \in \N, \ a_n= \displaystyle\sum_{k=1}^p a_n ^{(k)} e_k$. Étant donné $l=\displaystyle\sum_{k=1}^p l_k e_k$ appartenant à $E$, il est équivalent de dire :
(i) $a_n \longrightarrow l$
(ii) pour tout $k \in [|1,p|]$ la suite $(a_n ^{(k)}$ converge vers $l_k$
Je ne comprends pas un détail de la preuve.
Comme $E$ est de dimension finie on peut le munir d'une norme que l'on souhaite. Munissons $E$ de la norme infinie dans la base B :
$N_{\infty}(x) = \max_{k \in [|1,p|]} |x_k|$ où $x=(x_1, \cdots, x_p)$
Il est alors clair qu'au sens de la norme infinie, la convergence vers $l$ de la suite $(a_n)$ revient à la convergence des $(a_n ^{(k)})$ vers $l_k$ car
$N_{\infty}(x) = \max_{k \in [|1,p|]} | a_n ^{(k)} -l_k| $
Je n'arrive pas à montrer le dernier passage.
Réponses
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Précise ce que tu n'arrives pas à comprendre.
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Oui je tente quelque chose.$(a_n)$ converge vers $l$ si et seulement si $N_{\infty}(a_n) \longrightarrow 0$ si et seulement si $\max_{k \in [|1,p|]} |a_n ^{(k)} -l_k| \longrightarrow 0$Et je bloque ici.
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Ah j'ai trouvé une idée je pense pouvoir trouver.
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Je voulais montrer l'équivalence suivante mais j'ai finalement trouvé, toujours une histoire de théorème d'encadrement de la limite.
$(a_n)$ converge vers $l$ si et seulement si $\forall k \in [|1,p |] \ a_n ^{ (k)} \longrightarrow l_k$
$(a_n)$ converge vers $l$ si et seulement si $N_{\infty}(a_n) \longrightarrow 0$ si et seulement si $\max_{k \in [|1,p|]} |a_n ^{(k)} -l_k| \longrightarrow 0$
Or $\forall k \in [|1,p |] \ |a_n ^{(k)} -l_k| \leq \max_{k \in [|1,p|]} |a_n ^{(k)} -l_k| \longrightarrow 0$ et le théorème d'encadrement permet de conclure immédiatement.
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Cette affirmation
$(a_n)$ converge vers $l$ si et seulement si $N_{\infty}(a_n) \longrightarrow 0$
est fausse.
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Reviens à la définition de limite sur le $\max\limits_{k\in\llbracket1,p\rrbracket}|a_{n}-\ell|$
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$N_{\infty}(a_{n})\longrightarrow 0$ te dit que $a_{n}$ tend vers $0$ par continuité de la norme.
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Rakam oui merci c'est $N_{\infty} (a_n -l) \longrightarrow 0$.
Amédé c'est juste la définition de la convergence d'une suite dans un espace vectoriel normé, pourquoi parler de continuité ?
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Bonjour!
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