Calcul d'un déterminant

from sympy import *
a, b, c = symbols('a b c')
factor(det(Matrix([[(b+c)**2, c**2, b**2], [c**2, (a+c)**2, a**2], [b**2, a**2, (a+b)**2]])))

Résultat: $\displaystyle 2 \left(a b + a c + b c\right)^{3}$

On développe selon la première ligne en faisant apparaître la quantité $ab+bc+ac$. Voir par exemple ce document (exercice 17).

Avec la règle de Sarrus, tu auras six termes et tu pourras faire apparaître des $k^2(m^2-n^2)$, avec un peu de bol, ça se simplifie.

Bonjour
Soit $$A=\begin{bmatrix} (b+c)^{2} & c^{2} & b^{2}\\ c^{2} & (a+c)^{2} & a^{2}\\ b^{2} & a^{2} & (a+b)^{2}\end{bmatrix}$$
Solution 1.
\begin{eqnarray*}
|A|&=&\begin{vmatrix} (b+c)^{2} & c^{2} & b^{2}\\ c^{2} & (a+c)^{2} & a^{2}\\ b^{2} & a^{2} & (a+b)^{2}\end{vmatrix}\\
&=&(b+c)^{2}\begin{vmatrix} (a+c)^{2} & a^{2}\\ a^{2} & (a+b)^{2}\end{vmatrix} -c^{2}\begin{vmatrix}c^{2} & a^{2}\\ b^{2} & (a+b)^{2} \end{vmatrix} +b^{2}\begin{vmatrix} c^{2} & (a+c)^{2}\\ b^{2} & a^{2}\end{vmatrix}\\
&=&(b+c)^{2}\left[ (a+c)^{2}(a+b)^{2}-a^{2}a^{2}\right]-c^2\left[ c^{2}(a+b)^{2}-b^{2}a^{2}\right]+b^{2}\left[ c^{2}a^{2}-b^{2}(a+b)^{2}\right]\\
&=&(ab+ac+bc)^{3}+(ab+bc+bc)^{3}\\
&=&2(ab+ac+bc)^{3}
\end{eqnarray*}
Solution 2.$$A\overset{1}{\sim} \begin{bmatrix} (b+c)^{2} &c^{2} & b^{2}\\ 0 & (a+c)^{2}-\frac{c^{4}}{(b+c)^{2}} & a^{2}-\frac{(bc)^{2}}{(b+c)^{2}}\\ b^{2} & a^{2} & (a+b)^{2}\end{bmatrix}\overset{2}{\sim} \begin{bmatrix} (b+c)^{2} &c^{2} & b^{2}\\ 0 & (a+c)^{2}-\frac{c^{4}}{(b+c)^{2}} & a^{2}-\frac{(bc)^{2}}{(b+c)^{2}}\\ 0 & a^{2}-\frac{(bc)^{2}}{(b+c)^{2}}  & (a+b)^{2}-\frac{b^{4}}{(b+c)^{2}} \end{bmatrix}\overset{3}{\sim} \begin{bmatrix}  (b+c)^{2} &c^{2} & b^{2}\\ 0 & (a+c)^{2}-\frac{c^{4}}{(b+c)^{2}} & a^{2}-\frac{(bc)^{2}}{(b+c)^{2}} \\ 0 & 0 & \frac{(2(bc+ab+ac)^{2}}{ab+ac+cb+2c^{2}} \end{bmatrix}$$ $$\implies |A|=(b+c)^{2}\left[ (a+c)^{2}-\frac{c^{4}}{(b+c)^{2}}\right]\left[ \frac{(2(bc+ab+ac)^{2}}{ab+ac+cb+2c^{2}}\right]$$ $$\implies |A|=2(ab+ac+bc)^{3}$$

• $1\equiv {\rm ligne}_{2}\rightleftarrows -\frac{c^{2}}{(b+c)^{2}}\times {\rm ligne}_{1}$.
• $2\equiv {\rm ligne}_{3}\rightleftarrows -\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}\times {\rm ligne}_{1}$
• $3\equiv  {\rm ligne}_{3}\rightleftarrows -\frac{a^{2}-\frac{(bc)^{2}}{(b+c)^{2}}}{(a+c)^{2}-\frac{c^{4}}{(b+c)^{2}}}\times {\rm ligne}_{2}$.

Cordialement.

Bonsoir 
Une variante pas symétrique 
$\begin {pmatrix}
(b+c)^2&a^2&a^2 \\
b^2 &(c+a)^2& b^2 \\
c^2  &  c^2   & (a+b)^2 \\
\end {pmatrix}$

Bonsoir @AP,
n’y aurait-il pas une coquille dans ta matrice ?
ou alors quelque chose m’échappe bêtement… 

Oui et même davantage. 

Et d'ailleurs, les a, b, c sont-ils distincts ? 

Il n'y a pas besoin de supposer quoi que ce soit sur $a$, $b$ et $c$.